Chercher les différentielles des fonctions

y =^ smmx, j = arcsin-, f^=s,\n'*x^.

En appliquant les résultats trouvés dans ce Chapitre, concurremment avec le théorème des fonctions de fonctions, on a immédiatement

, . , rfsinw.r d iiunix = m cosmx dv, — — = m cosmx;

j ■ ^ , , aarcsin -

fZarcsin - =

a / fî a

rfsin*^^ = 4 sin^.r"- cos.r- ix dx = S.r sin^^^ ç,oî>x'^dx,

àr „ .

-~ = 8 j: sm^ a-- ces x"^.

1° Cherclier les différentielles des fonctions

Nous aurons recours, de même, au théorème des fonctions de fonctions et à la différentiation des fonctions logarithmiques. Il viendra

dlo2 sina- = ^— — cosjc dx = lo2;e cotx dx ° siuj: °

rfloe;sin.r

-, =logecotj::

alo^ coix = ■ — '■ — ( — sm.r dx) = — loee tan2;.r dx ° coso:^ ^ » o

C?l0£C0SJ? ,

-, = — l02elan»,r;

dx a c. 5

,, lo2;e dx iloïe ,

alo^ tan^^z- = - — - — = -: — —dx

tan2;.r cos-o: sin-2u:

É^log tangJT 2 loge log<

dx sinaj: sinjrcosj:^

3° Chercher les différentielles des fonctions

y = log tang "^ , j = log tang i'j^^y

On a

,, X \oze T dx loce , d log tang - = — '- — = — — dx

2 X ^X 1 %\iïX

tang— cos^ —

eî

d log tang -

2 loge

dx sinj:'

x\ loge I dx

tang - H — cos^ - -f- -

lose , lo^e j

dx = — ^= — dx coSvC sm ( 1- X

d log tans I T -^ - ) 1 ■^ ■ V4 2/ loge

dx cos j:

4° Chercher les différentielles des fonctions

y = log arc sin j;. y = log arc cos^r, y = log arc tangue.

ALGEBRE SUPEUIEDUE.

On a successivement

\o"e dx

r/ log arc sin.r d log arccos.r d\o" arc tang-r

f/log arc s\nx

loge

arc sia x

loge

-dx

arc cos.r

loge

^log

arc cosj:

c?log

arc tang^

arc sin.r.v/i — x-

\oz,e

arc ces jc./i — .r^ los:e

arc langx i + a.-'- rfo;

5° Chercher la différentielle de la fonction

D'après la difTérenliation des fonctions exponentielles, on a

arc lang.r.(i -\- x-)

d Q&tc iin.-r — - gare sin.r T

loge /,,,. -2 /,.i-2

f/^arcsin.i- garcsinx

dx /i x2

6° Chercher la différentielle de la fonction

J = l0g[jCH-(^2 rt2)2j

arc sec

Nous aurons, d'après les formules connues,

loge

dx a

Comme

d \x -!-(.r2 — «2)2] — (Ix ^ ( .r2 — «2)^2 2x f?r

= 1-4- ^ j- dx

et que

rf.r a

5l2 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

il vient, en simplifiant,

, r \ose a "I , ,rlo£re-t-a dy = ■■ ^ + j dx = ^

L(^2 rt2)2 x(x2— «2)2j j:(a:2— «2)2

rfx.

Si les logarithmes sont pris dans le système népérien, loge = i , et l'ex-

pression devient, en divisant ses deux termes par (x-t-a)2,

X 1 X — « J ' dx x\^x — a \

7° Chercher la différentielle de la fonction

y = arc tang

I — ax

On a, en simplifiant,

, I — ax I — ax-^a(a-k-x) ,

dy — -, CT = ^^ — 7 ^ dx

/ a -^ X Y (i — ax)--h{a -+- x)'

\ I — ax J

(i -ir- a-)(i -T- X-) 1 H- a,-2

On voit que cette différentielle est la même que celle de arc tang.r (613). 11 est facile d'indiquer la raison de cette coïncidence. D'après la formule ( Trigon., 5o)

, ,, tangrt -f- tangi

tang(a-i-i)= ^- ^ ,i

"^ I — tan2;« tan2;6

l'arc dont la tangente est égale à '— est la somme des arcs qui ont

I — ax

pour tangentes a et x, et l'on a

a-T- X y = arc tang — = arc tans^; -+- arc tang^r.

Si l'on regarde alors, comme nous l'avons fait, a comme une constante, tous les arcs correspondants, en désignant l'un d'eux par A, seront compris dans la formule /- -f- A, et l'on aura, d'une manière générale,

j = Att -+- A -r- arc tang^r, d'où

dy = d &VC tangj:.

8° Trouver la différentielle de la fonction composée

Il -^ V

y = arc tang

ALGLBIIE SUPÉRIEUUE. 5l3

OÙ M et (^ sont des fonctions de x. Cet exemple est la généralisation du précédent. On a évidemment

I — uv {\ — ?/(' H r/« -I- rA' ) -f- ( M -H (' ) ( // f/c -4- r du ) ' u -\- V y- (1 UK>f^{^U-V-V)-

1 — itv ,

fr -1- ('-)r/?.' -f- h -h u-)dv f/« r'c

Cc résultat pouvait être prévu, puisque, d'après ce que nous venons de

rappeler (7°),

u -i- V Y — arc lantr = arc \^x\%u-\- arc tan!?c'.

9" Chercher la dijjc'renticlle de la fonction

y = arc siii2./' </ 1 — a- .

On a

, dix \l y — .c- 21/1 — .^- 7 ^^^' = / , ... ■= = = '-^•^■•

Il en résulte, en simplifiant,

rti = , — — dx = rf.r —

Celle diilcreaticlle est le double de celle de arc sinj;. Voici la raison do ce fait. Désignons arc sino; par j'q. Nous aurons

X — sin >0) \/i — ■^'■' = cos/o) 2.r /i — x- = sin 2 ro.

L'arc j', dont le sinus est représenté par -xx <^' \ ~x-, a donc le mémo sinus que l'arc 2j'o, c'est-à-dire qu'il est compris dans l'une des foritmules

2 A- TT 4- 2 J'o, ( 3 /l -f- l) - — IVo,

et que sa différentielle est égale à ± idjQ. C'est ce qu'exprime le résultat trouvé plus haut.

10° Etant donnée la relation

sin.r -i-sin(.r -h- //)+ sia(.r -l- 2 //)-{-...-)- sin [.r -h (w — i)//]

. nih . r (ni — i)h~\ sm — sin .r -f- —

- Tli '

sin-

en déduire la somme des coslnu.<; des manies aies

i)K c. — Coius. m. 3j

5l4 ALGklîRE SUPÉRIEURE.

Il suffit de diiïérentier par rapport à .r les deux membres de l'égalité. En supprimant ensuite dx de part et d'autre, on a

cos.r -+- cos(j:^ -+■ /i)-^ cos(.r -!- ili)-^. . . -h COs[.r +(/?^ — i)//]

sm — cos X ~ —

C'est le résultat déjà obtenu ( Triton., 90). 11° C/ierc/ier la différentielle de la fonction

jrc tani?

On a df =.

ou, en effectuant et en remarquant que e^e-^ = eo= i,

, 4 dx 1 dx dy = — s 7- = -1, r- •

12° Chercher la différentielle de la jonction

Ja- — /;2sin.r

Y — Qxt tan;^ — ; <

b-T-aco^x

Ou a

/;2sin.r

b -\- a cos.r

/;2)sin2

{b -T- a cos X )■v/<72 — /;"2 cosx(6 -1- (7 cosx)-i- « v/«- — ^^ sin-x

[b H- rt cos.r)--i- {a- — b'^ )Î!m-x

ou, en effectuant et en simplifiant,

s/ a- — b'^ia -H b cosx)

dj =

{a-\-bcOix)- " a-i-bcosx

ï3° Chercher la différentielle de la fonction

b -T- a cos.r

dx.

y = arc cos

a -T- b cosx

ALGtURE SUl'tUlEURE. 010

On a

^h -\- a C0SJ7

, a -^ b coà.r

\ \a-\- b co'&x

, <7 sin,r(rt! -+- i cos.i') — Z* sin^'(/i -I- « cosx) ,

rt r = dx

(a -h b ç,Q^x)\'{^a -t- Z; cos^')- — [b 4- « cos^';-