DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS IMPLICITES

Cas d'une seule fonction.

622. Nous avons vu qu'on nppelail, fonctions implicUes celles qui sont liées aux variables don* elles dépendent par des équations non résolues ou par des conditions non exprimées analytiquement

Nous ne considérerons que celles qui sont définies par des équations non résolues.

623. Le cas le plus sinnpie est celui où la fonction implicite )■ est définie par une seule équation entre celle fonction et la variable x.

Soit celte équation

y, quoique inconnue, étant une fonction déterminée de x, on peut regarder /(j7,j) comme une fonction composée de X (567). Celte fonction, par bypothèse, est constamment nulle; elle est donc constante, et sa difTérentielle est égale à zéro (5i9). Or, d'après le lliéorème des fonctions composées (567), cette différentielle a pour expression

On a donc

et l'on en déduit

-J-dx+ -f- dy.

dx dy ''

df ^

-r- dx dx

dy

dy

df

df

dx ,

— 7-r dx

et

dy__

dx

df

dx

dj

dy

ALGEBRE SUPEUIEUIIE.

Ainsi, la dérivée d' une fonction y, liée à la variable x par l'équation f{x, y) z= o, est égale au quotient, changé de signe, de la dérivée partielle du premier membre de l'équation relativement à x par la dérivée partielle de ce premiei membre relativement à y.

Remarquons que ces dérivées partielles sont, en général, exprimées à la fois en fonction de x et de y, et qu'elles ne peuvent l'être en fonction de x seulement, que si l'on peut résoudre l'équation /{x, y)^^o par rapport à y. Mais, lors même que cette résolution est impossible, le résultat obtenu n'en est pas moins d'une très grande utilité, comme on le verra surtout en Géométrie analytique (t. V).

62i. Soit, par exemple,

(qui est l'équation d'une ellipse rapportée à ses deux axes 2a et 2 b).

Nous aurons

df -ix df iy

et, par suite.

dx a^

cfy dx

aiy

dy b-^ b'X

L'équation donnée étant résoluble par rapport à v, on peut facilement vérifier ce résultat. On déduit, en elïet, de cette équation

et, par conséquent,

dx a

a- - V' aa

625. Voici un second exemple s'appliquant à une fonction transcendante.

Nous avons trouvé ( Trigon., 72) l'équation suivante, pour

ALGÈBUE SUPÉRïEURr. DIQ

déterminer cos ^ en fonction de coso:,

4 cos^ -^ — 3 cos ^ — cos^ = o.

Posons jz= cos -x^' L'équation deviendra

f{^,f) = 4/* — 3/ — COS^ =: O.

On a ici

-^ = sinx, ~-=zi2y- — 3.

da; dy -^

Par suite,

dy sin^

dx I ly^ — 3

11 est facile de vérifier ce résultat, puisque l'on a / = co^

On en déduit

dy __ \ . X dx 3 3

et il reste à démontrer l'identité