I . X %vc\x
3^'"3'=' le
12 cos-^ ^ — 3
ce 1 JC\ JC
4sin-5- ( i — sin^ k- ) — sin ^ = sin,r
3 sin -5- — 4 sin^ ^ :=. sin^, o 3
qui est précisément la relation par laquelle on détermine sin ^ en fonction de sina; ( Tvigon., 77).
D20 ALGÈBRE SUPÉraEURE.
C2G. Soit, enfin, réquiition
qu'on ne peut pas résoudre par rapport ■ lune des variables. On a
■—-yXlY — y^r-1 et -|— =^>'^-' — X^lx,
dy y^ ly — TJ:-^'"'
c'esl-à-flire
dx -^J"^" ^ — -f- ^ ■^
On peut simplifier ce résultat en remarquant que, d'après l'équation elle-même, on a
y^ =z xy.
En divisant par cette quantité les deux termes de l'expression et en changeant le signe, il vient
dx , X
Cas de plusieurs fonctions.
u27. Soient maintenant y et c deux fonctions implicites de X, liées à la \ arinble par les deux équations
y et z étant des fonctions déterminées de x, on peut regarder les fonctions / et o comme des fonctions composées de X, et leur appliquer séparément le raisonnement précédent (023). On a donc, d'après le même théorème (oG7), les (lifTérentielles des deux fonctions composées devant être nulles, parce que ces fonctions sont constamment nulles,
-j-dx -\- -f- rfK H — -^ dz=zo, dx dy " dz
do - do , do ,
-~- dx H — p- a K H r dz r=o.
dx dy " dz
On obtient ainsi deux équations du premier degré en dy
Cl en dz qui feront connaître ces diiîérentielles en fonction de dx et de x, y, z. Il est commode de mettre les résultats trouvés sous la forme
dx dy dz
do df d^ df dcD df do df r/cp df do df dy dz dz dy dz dx dx dz dx dy dy dx
On en déduira dy et dz ou les dérivées -^^ et -r-- •^ dx dx
G28. On généralisera facilement ce qui précède. Si l'on a m — I équations entre m variables, on peut prendre l'une d'elles pour variable indépendante, et les m — i autres variables deviennent des fonctions implicites de cette seule varialjlc inilépondante.
Soient les m — i équations
où X est la variable indépendante et /, z, u, . . ., les m — i fonctions implicites de ^r.
Les différentielles des premiers membres de ces équations devant être nulles, on aura
-f-^ dx -\- -—dy -{- -^dz -\- -Ç du + . . . z= o, dx dy -' dz du '
df^ , df^ . df. , df. ,
^dx -^Jydy +^dz +-^du +... = 0,
'ILpidx -h %^' dy -H %=^ dz + '^-^du+... = o dx dy ^ dz du
En résolvant ce système de m — i équations du premier degré, on pourra obtenir les différentielles dy, dz, du, ..., en fonction de dx et de ce, y, z, u, ...; puis, les dérivées dy dz du dx dx dx
ALGECHE SUPEUIEUKE.
Élimination des constantes.
629. Ce qui précède nous conduit à dire un mot de l'élimination des constantes arbitraires qui peuvent faire partie d'un système d'équations.
Soit d'abord l'équation
où. C représente une constante arbitraire.
La différenlialion du premier membre de cette équation, où / peut être regardée comme une fonction implicite de ^,
nous a donné
df . df ,
-y- dx -i — '— d\ = G
dx dy "
ou, si l'on veut, en divisant par dx,
dx dy dx
En éliminant la constante G entre les équations (i) et (2),
-7^ étant la dérivée partielle du premier membre de l'équadx
tion (i) par rapport à -z-, et -j- la dérivée partielle de ce premier membre par rapport à y, on obtiendra une équation
entre la variable indépendante x, la fonction y et sa dérivée
dy
dx
L'équation (3) ainsi déduite de l'équation (1) est une équation dijjérentielle.
X el y désignant les coordonnées d'un point rapporté à des
axes rectangulaires, si l'on donne à la constante arbitraire C
une infinité de valeurs, l'équation (i) représente une famille
dy de courbes; et, comme -^ est alors (535) la tangente trigo-
nomélrique de l'angle formé par la tangente à la courbe avec l'axe des x, l'équation (3) exprime, dans cette hypothèse,
ALGEBRE SUPEIIIEUIU':
une propriété de la tangente, commune à toutes les courbes de la famille considérée.
Nous retrouverons ces considérations en Géométrie analytique.
