Nous traiterons deux exemples très simples
1° Nous avons vu précédemment (S83) que l'équation
(i) j^='xpx-hVj ou j2 — ipx — C = o
représente toutes les paraboles de paramètre p ayant leur axe confondu avec l'axe des x.
Si l'on ditTcrentie le premier membre de l'équation (i), il vient
^'■ (a) 2 j- dy — ip dx — o ou y -j- = p.
La constante C disparaît ainsi d'elle-même, et l'équation (2) remplace l'équation (3) du n° 629. C'est V équation différentielle déduite de la proposée.
On voit qu'elle exprime (583) que la soux-normale est constante pour toute la famille de courbes représentée par l'équation (i).
2" Soit l'équation
(i) j2— 2/;.r ou j2 — 2px = o,
dans laquelle p est supposé avoir une valeur arbitraire, et qu\ représente une parabole rapportée à son axe et à la tangente au sommet (583).
En différentiant le premier membre de l'équation (i), il vient
(2) 2 j df — 7.p dx = 0 ou J-j;^^ P-
En éliminant alors la constante arbitraire/? entre les équations (i) et (2). nous obtenons l'équation différentielle (3)
dy dy
(3) j-^-2j^..r = o ou r = ^-r^^'
Si l'on se reporte à lajf^\ 1 1, la sous-tangente TP satisfait précisément à la relation
L'équation (3) prouve donc que, dans toutes les paraboles qui ont
524 ALGÈCKE SUPÉRIEURE.
même axe et même sommet, la sous-tangente est toujours double de l'abscisse du point de conlact. propriété connue {Geom., 735"*
rig. II.
631. D'une manière générale, soient /?i équations entre une variable indépendante ^, m fonctions implicites y, z, u, ... (le celte variable, et m constantes arbitraires Ci, C,, C^, .... Ces /?z équations seront de la forme
/, {oc, y, Z,U, . . ., Cl, C,,C3, . . .):=o, A i^' 7' ^' «' ^1» ^2, C3, . . . ) = 0,
/in{^} Vf -S> '^» • • ■ > Cj, L2, C3, ...)=; G.
En différentiant les premiers membres de ces équations et on égalant les résultats obtenus à zéro, on a, en divisant par djr, un nouveau groupe de m équations de la forme
djc
dy dx
dx dv dx
dfjn
dx
dfi dz
dz dx
4A dz
dz dx
df^ du du dx df<i du du dx
dfm dy dy dx
dfm dz dz dx
dfm du du dx
En éliminant entre les ^m équations des groupes (i) et (2) les m constantes arbitraires Ci, C2, C3, . . ., on constituera un
nouveau groupe de m équations de la forme (G29)
1/ dv dz du \
/ dv dz du
f / dy dz du \
Le groupe (3) ainsi formé est ce que l'on nomme un système d'équations difJéreiUieUes simultanées.
026 ALGÈlîRE SUPÉRIEURE.
