CHAPITRE IX

PROPOSITIONS RELATIVES AUX DÉRIVÉES DES FONXTIONS D'UNE SEULE VARIABLE.

632. Avant de passer à l'étude succincte des propriétés relatives aux différenlielles d'ordre supérieur, nous démontrerons quelques ihéorèmes qui nous seront nécessaires par la suite. Nous aurions pu les établir dès le début du cinquième Livre; mais, plus rapprochés des applications que nous aurons à en faire, leur importance sera sans doute mieux appréciée.

633. I. Soit la fonction f {x) qui admet une dérivée f\x) pour toutes les valeurs de x comprises dans un intervalle {a, b), et qui s'annule pour x ^^ a et pour x =i b. La dérivée f'{x) s'annule alors nécessairement pour une certaine valeur Xi de X, comprise dans l'intervalle {a, b).

Puisque /(a;) a une dérivée déterminée pour toutes les valeurs de x renfermées dans l'intervalle (a, b), elle est continue dans cet intervalle (536).

En laissant de côté le cas où f{x) serait constamment nulle dans l'intervalle considéré et où sa dérivée serait, par conséquent, égale à zéro (538), cette fonction commencera par croître, depuis zéro, en prenant des valeurs positives, ou à décroître en prenant des valeurs négatives, soit à partir de xz=a, soit à partir d'une valeur de x comprise entre a et b.

Admettons que/(a') prenne des valeurs positives. Comme elle doit s'annuler |ioin' x^b, i! faut qu'elle diminue après avoir augmenté, c'est-à-dire qu'il existera, entre a et b, une valeur x^ telle, que/(^i) sera supérieure ou au moins égale aux valeurs voisines

/(,r,-/0 et f{x, + h),

ALCÈIJUE SUrÉUIEURE. 52^

en désignant par h une valeur assez petite pour qiie x^ — h et Xy-[-h restent renfermées dans l'intervalle (a, h).

Si /(^) prend au conli-aire des valeurs négatives, il faut qu'elle augmente après avoir diminué, et il existera, entre a et b, une valeur œ^ telle, que/(a?i) sera inférieure ou au plus égale aux valeurs voisines

/(.r,-/0 et /(^,+ A).

[On pourrait dire aussi que f{jc) étant continue admet, dans l'intervalle («, b), une limite supérieure ou une limite inférieure qu'elle atteint nécessairement pour une valeur x^ comprise dans l'intervalle (io8, 453)].

Que la fonction prenne des valeurs positives ou négatives, on voit que les différences

f{,v,-h)-fix,) et f{x,-^h)-f{x,)

seront nulles ou de même signe.

Les rapports

seront donc nuls ou de signes contraires.

Si l'on suppose que h tende indéfiniment vers zéro, ces deux rapports tendront, par hypothèse, vers la même limite f'{x^). Cette limite /'(:j?,), ne pouvant être à la fois positive et négative, est nécessairement nulle, et l'on a

Cette proposition n'est autre chose que le théorème de RoLLE, que nous retrouverons plus tard {Alg. sup., i" Partie).

On remarquera que la démonstration précédente ne suppose pas la continuité de la dérivée f'{x); mais seulement que, pour chaque valeur de x comprise dans l'intervalle considéré, elle a une valeur unique et déterminée.

634. II. Soit la Jonction f{x) qui admet une dérivée f'{x) pour toutes les valeurs de x comprises dans un certain interi'alle. Si Xq et X sont deux valeurs de x comprises dans cet intervalle et si x^ est une autre valeur de x comprise entre Xq et X, on a

ALGEBRE SUl'ERIEURE.

En effet, considérons la fonction de x représentée par l'expression

/(X)-/(Xo)

A. Xq

Elle s'annule évidemment pour ^ = ^0 et pour a?=X. D'ailleurs, pour les valeurs de x comprises entre xz=.x^ et X =:X, elle a une dérivée égale à

c'est-à-dire bien déterminée (539). D'après le théorème précédent, cette dérivée doit donc s'annuler pour une valeur ^1 de X, comprise entre Xq et X. On a, par suite,

Nous avons supposé, dans notre démonstration, X>^o; mais la formule trouvée est indépendante de cette hypothèse, puisque la permutation de X et de jTo la laisse identique.

On peut poser

X = JTo-i- //,

en désignant par h la différence des deux valeurs X et x^. La quantité x^, comprise alors entre x^ et Xq-\- h, peut être représentée par Xo-{-6h, 9 étant un nombre compris entre o et T, sans être ni l'un ni l'autre. La formule (i) devient ainsi

G3d. La proposition qu'on vient d'établir conduit, d'une autre manière, à ce théorème important, déjà démontré (oiO) :

Lorsque la dérivée d'une fonction est constamment nulle dans un certain intervalle, cette fonction se réduit à une constante dans le même intervalle.

En effet, d'après la relation (2) [G3i], si l'on a/'(^)=o pour toutes les valeurs de x comprises dans l'intervalle considéré, on a aussi /'(^o+ 9h) = o. Il en résulte

f{Xo-h/l)=f{Xo),

quel que soit /?, pourvu que les deux valeurs Xq et x^-h h

ALGÈBRE SUPÉRIEUrvE. SsQ

soient comprises dans l'intervalle ; /(a?) conserve donc la même valeur dans cet intervalle et se réduit à une constante.

G30. III. Soient f{x) et F(a.') deux fonctions qui restent continues pour toutes les valeurs de œ renfermées dans un certain intervalle et ont, pour ces valeurs, des dérivées parfaitement déterminées f {x) et ¥'{x). Si Xq et X sont deux valeurs de x comprises dans cet intervalle et si x^ est une valeur de X comprise entre Xq et X, on a

F(X)-F(.ro) F'(^,)

[Il est entendu que F'(^), qui peut être nulle ou infinie pour a: = ^0 ou pour x=:\, ne l'est pas pour les valeurs intermédiaires.]

Considérons la fonction de x

A^) -/(.-.) - [F(,.) ~ F(..)] Ç^^Ç^.ly

Elle est nulle évidemment pour x=:xo et pour x=iX, et elle admet, dans l'intervalle de ces deux valeurs, la dérivée bien déterminée

Celte dérivée doit donc s'annuler (633) pour une valeur x^ de X, comprise entre Xq et X, de sorte qu'on a

(. /(X.)-/(Xo)/'(^,)

En posant comme précédemment X = ^0 + ^'

et en désignant par 6 un nombre compris entre o et i, la formule (i) devient

/(^o + /0-/(.ro) ^ /(^o+6A)

F(J7o+/0 — F(j:-o) F'iXo-h Oh)'

Puisque X peut être plus grand ou plus petit que Xq (G3i), h peut être une quantité positive ou négative.

Les démonstrations précédentes sont dues à M. Ossian