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[)e C. — Cours. VA. 34

53o ALGÈKRE SUPÉraEURE.

637. IV. Lorsqu' une fonction f {x, p)y contenant un paramètre arbitraire p, reste continue dans un intervalle donné et tend vers zéro, quelle que soit la valeur de x dans cet intervalle, lorsqu'on fait tendre p vers une valeur particulière po, toutes les dérivées def{x,p)par rapport à x tendent aussi vers zéro, dans le même intervalle, lorsqu'on fait tendre p vers /?o.

En eiïet, on a (63i), pour toutes les valeurs de x et de h compatibles avec l'intervalle donné,

f(^x^h,p)-f{x,p) = hf'(x-hOh,p). '

Par hypothèse, les deux termes du premier membre de cette relation deviennent nuls pour/> =yoo- On a donc, quelles que soient les valeurs de x et de h, sous la réserve indiquée,

f'{x-he/i,po) = o

ou, en faisant h ■= o,

On déduit évidemment de ce résultat que /"(j^, /?o) est aussi nulle, quelle que soit la valeur de x choisie dans l'intervalle, et, de proche en proche, qu'il en est de même, d'une manière générale, de/'")(a;,/3o).

La fonction donnée de x pourrait renfermer plusieurs paramètres varialjles, et s'annuler pour des valeurs particulières de ces paramètres. La conclusion serait encore la même.