z = - — - A^As 4- , , AyAs H- -r^ àz^ + w

az axaz dy dz " dz-

coi, C02, W3 étant des quantités infiniment petites par rapport aux carrés et aux produits deux à deux des accroissements b.x. A/, As, comme l'accroissement de co lui-même.

On peut donc, en désignant par C^ ce dernier accroissement, augmenté de &),+ wo-i- 0J3, et en réunissant les résultats précédents, écrire symboliquement

.„ (du . du . du .

à''u = { Aa7+ -— Ak+-^A^ \ dx dv " dz

ALGEBRE SUPERIEURE.

£-1 étant infiniment petit relativement aux carrés et aux produits deux à deux des accroissements.

En continuant de la même manière, on parviendra à la formule générale

. [du . du . du . \"^ „

étant entendu que, dans le développement du second membre, les puissances de du seules seront remplacées par les différentielles de même ordre, et que «S,„i est une quantité infiniment petite par rapport au produit de m facteurs \x, Av ou As.

Comme on peut faire tendre ^.x, Ay, As vers zéro, en posant Ax^^dx, A.y=^dy, Azr=zdz, la différentielle totale d'ordre m d' une fonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes ne diffère de la différence correspondante de même ordre, que d'une quantité infiniment petite par rapport à cette différence elle-même.

La substitution (\Qd"Ui à A'"« sera donc permise, toutes les fois qu'il s'agira de la recbercbe d'une limite de somme ou de rapport (530).

EXEMPLES

660. i" Chercher la différentielle lot aie du premier ordre de la fonction

Cn a

u= nans--»

, du , du ,

au = —— d.v H — =- ar, d.r dj

Par suite,

du