IX
r^sin —
2° Chercher la diffère ntielle totale du deuxième ordre de la fonction
u = x'^jn.
On a d'abord
du , du .
-y- = mx'>^-^)n -7- = «x'"r«-i,
cùc dy ^ >
c'est-à-dire
du = m x'x^-'^j-'^dx -f- n x'n-j-n-i dy.
On a ensuite
,, [du du \'>- d'^u d'^u j j d^u , ^
D'ailleurs,
dxdy
d^ u dj-
- = mnx"^-^y"--^,
Par suite,
d- u = .i''"-2j'«-2 [ m (m — 1 ) ) 2 f/^-2 f- 2 ;?2« xj dxdy -^ n(n — i ) .r- rA- ] .
3° Chercher la différentielle totale du troisième ordre de la jonction
On a d'nbord
du
dx
du du
= ^^' Ty = "'^' -d. = ^-''
Il en résulte
du = 'ixdx -\- 2ydy -+- izdz.
On a ensuite
dx-^ ~ ' dy' ' dz-' ' dxdy ' dxdz ' dyd:
Par suite,
d-u = i ^~r dx -\- -j- dy + -,- r/:; ) = 2 ( rfj:^ | ^/^-s ^ fi-i\ \dx dy ■" dz ) ^
dx, dy, dz étant des constantes, d^u et toutes les autres différentielles totales successives sont nulles.
558 ALGÈBRE SUrf.RIEURE.
4° Chercher la différentielle totale du quatrième ordre delà fonction
u = xjz.
On a successivement
du du du 7 7 7 7
-, = rz. —r = xz. —r- = xy. du = rzdx-^xzdy -+- xrdz.
dx - ' dr ' dz '' ' • . .
dx''- ~ '■ dy-~ '' dz-~ ' dxdy " dxdz''^' dj dz ~~ '^'
d'-u = 2.(zdxd)' -\- ydxdz -+- xdydz).
On a ensuite
dHi
1 du , du ,
= (dx'^'-^d;/^->-
du j Y
'-dz'^')
dx^ = '''
dx-^dr~'^'
dxdj dz
11 en résulte immédiatement, d'après la loi de formation du cube d'un polynôme (309),
d^u = 6d.rdrdz.
dx, dj-, dz étant des constantes, dui et toutes les autres différentielles totales successives sont nulles.
Différentielles totales des divers ordres d'une fonction composée de fonctions de plusieurs variables indépendantes.
661. Il peut arriver que les variables qui entrent dans la fonction considérée soient elles-mêmes des fonctions d'autres variables indéjiendantes.
Supposons, par exemple, qu'on ait
«' et w étant elles-mêmes des fonctions de certaines variables indépendantes x et r.
11 est facile de voir d'abord qu'on a
au = - ,- av H — 7— div, dv CUV
comme si c et w étaient des variables indépendantes.
En effet, si l'on remplace v et w par leurs valeurs en fonction de X et de r, on a l'expression de u en fonction de ces
ALGÈIÎKE SUPÉRIKUIIE. SoQ
mêmes variables et, d'après ce qui précède (Goo), on peut
alors poser
, du , du -
du = -j— dx -{ — j- dy.
du- dv "^
Or -r- dx est la différentielle i)arlieile de u reenrdée
dx ^
comme fonction de la seule variable x dont dépendent v cl w. On aura donc, d'après la rèule de différentialion des fonctions, composées de fonctions d'une seule variable indépendante (567),
du , dif [ dv \ du ( d<v \
dx dv \ dx j div \ dx ) '
Cl, de même,
du , du f dv , \ du ( d\v , \
En ajoutant ces deux résultats, on trouve pour valeur de du
f dv , dv , \ du ( dw , dw , \
-^ dx -\- -j- dy \ -\- -1- \ -r- dx -A j- dv
\dx dy • J dw \dx dy " J
, du f dv , dv , \ du [ dw , dw
du = -7d\
Or les quantités entre parenthèses, qui multiplient les dé-
rivées partielles —r- et -7—) sont précisément (Ooo) les valeurs dv dw '
des différentielles dv et dw quand on considère v et (v comme
des fonctions de x et de r. On a donc bien
du du
(1) du =; -,- dv H dw.
^ ' dv dw
Cette démonstration, qu'on étend facilement à un nombre quelconque de fonctions dépendantes et de variables indépendantes, prouve que la différentielle totale du premier ordre de u ne change pas de forme, que les variables v et w dont cette fonction dépend explicitement soient ou nen indépendantes.
On voit de plus par là, puisque le théorème des fonctions composées se trouve ainsi généralisé, que les règles de différentiation relatives aux sommes, aux produits, aux quotients et aux puissances des fonctions d'une seule variable, subsistent pour les fonctions de plusieurs variables, dépendantes ou indépendantes (579).
56o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
, 662. Mais il faut bien remarquer que les différenlielles totales des autres ordres de la fonction u changent de forme, parce que les facteurs dv et dw qui remplacent dx et dy dans l'expression de la différentielle totale du premier ordre ne sont plus constants.
Ainsi, en différentiant les deux membres de Téquation (i) [661], on aura, puisque les règles de différenliation des sommes et des produits sont applicables et que v et w sont des fonctions de x et de /,
( 2 ) d'^ u ^= d { -r-\ dv -\- -r d- V -^ d { -r- \ dw -\- -r- d- w. \di' J dv \dw j dw
En appliquant toujours la formule (i), puisque -r- et -jsont des fonctions de v et de w, on a
- f da\ d-u , d- u ,
- / du \ d- u , d- u ,
d -r- = -T— i dw -A — -, T dv.
\aw J dw- dw dv
En substituant ces valeurs dans la relation (2), on trouve
d- u = —i—: dv- + 2 — — T— dv dw -\ — ; — ; dwdv- dv dw dw-
du ,, du ,-
+ -7- a- (' H — -r- d^w dv dw
ou, si Ton veut, en employant la forme symbolique pour les trois premiers termes,
-, [du , du , \^ du ,„ du „
d- u =: [ -J- dv -\ — 1— dv(^ -\ — — d-v -^ -j— d-w. \dv dw J dv dw
En comparant avec le résultat obtenu au n'^ G58, on voit
qu il s mtroduit ici deux nouveaux termes -r-d-v, -^d-w, et
dv dw
qu'il restera à calculer d^v et d-w en fonction des variables
indépendantes a; et j et de leurs différentielles.
663. On pourrait continuer de même pour calculer d^u, d'u, .... Mais les calculs se compliquent et, au delà de d-u,
les résultats ne sont guère utiles dans les applications ordinaires.
Le plus souvent, il est préférable de chercher séparément et directement les différentes dérivées partielles qui doivent entrer dans les différentielles totales qu'on a à former, ce qui ramène au cas des fonctions d'une seule variable.
Veut-on, par exemple, calculer la dérivée partielle
d'" Il
dx-' djP
on différentie la fonction
n fois par rapport à la variable indépendante x, ce qui donne
d" Il dx" '
puis on différentie ce premier résultat p fois par rapport à la variable indépendante y, ce qui conduit à
dx" dyP
G6i. Il est important de signaler un cas particulier : v et w peuvent être des fonctions linéaires des variables indépendantes X et j, c'est-à-dire des fonctions de la forme
dv et dw sont alors des quantités constantes quelles que soient les valeurs de x et de/, pourvu qu'on prenne comme à l'ordinaire dx et dy constants. Toutes les différentielles de (^ et de «^ sont, par suite, nulles à partir de d-v et de d-w, et l'on retombe nécessairement sur la formule symbolique (658)
f du , du , d'" u = i -j-d^ + -r- f/a \dv dw
qui s'étend à un nombre quelconque de fonctions linéaires dépendantes.
De C— Cours. III. 36
502 ALGÈBRE SUPÉRIEtRE.
G6o. Reprenons les foimules des n"* 6G1 et 662, c'esl-ù-dire
, du , div ( I ) du = —7- dv -\ — r— d\v.
^ ' dv du
d' u = —TT dv- -\- 1 -, — Y~ dv dw -\ — = — -, dw dv- dv d^v dw'-
dv dw
On désigne souvent par une seule lettre chacune des dérivées partielles du premier et du deuxième ordre, et l'on
pose
du du
dv'-^ ' dv d<.v ' cAv-
Les équations (i) et (2) deviennent ainsi
( I bis) du = p dv 4- q cAt',
(2 bis) d- u = /• dv^ -\- isdv dw -\- t dw- -\- p d- v -\- q d""- w.
Les mêmes formules s'appliquent au cas où v et w se trouvent remplacées par les variables indépendantes x et y et la fonction u par la fonction z. On a alors, dx et dy étant supposés constants, c'est-à-dire d- x et d-y étant nuls,
( I ter ) dz=z pdx -h q dv,
( 2 ter ) d-z =^ r dx^ H- 2 5 dx dy -i- t dy-,
