Admettons enfin que v et w soient fonctions d'une

seule variable indépendante x. Il en sera de même de u, et

l'on aura

dv , , dw . ^ du ,

dv r=z — — dx, dw =: -;— «.r, du = -r- dx

dx dx dx

fl- 1' = —, — dx- , d- w = — -— dx-, d- u^= —r—; dx-. dx- dx- dx-

En substituant dans les formules (i bis) et (2 6/5) du numéro précédent et en divisant, la première par dx et la seconde par dx^, on a d'abord

du dv dw

dx dx dx

ce qui est l'expression du tliéoièuie des fonctions composées; et, ensuite,

d-n__ /di'Y dv dw fdw\^ d^v d'

cl M- \d-ty dx dx \dx ) " dx'^ ^ d

w dx-

Différentielles des divers ordres des fonctions implicites.

667. Considérons d'abord le cas d'une fonction/ de la variable indépendante x, définie par l'équation

(i) f{x,y)=zo.

Il s'agit de trouver les différentielles successives de /.

y étant une fonction de x, f{x,y) est une fonction composée, de valeur constante zéro; et, par suite (656), ses différentielles de tous les ordres sont aussi nulles. En regardant dx comme une constante, d'où il résulte

on n'a donc qu'à égaler à zéro les différentielles successives du premier membre de l'équation (i). En se reportant au n*' 662 et en remarquant que les différentes dérivées partielles sont des fonctions de x et de/, il faut observer avec soin que cbaque terme des équations considérées doit être ditférentié par rapport à .r et par rapport à /, dx étant constant, mais non dy.

On trouve d'abord (567, 623)

^^) ix'^'^-^dy'^y-''^

j d'où l'on déduira dy.

11 vient ensuite

(3 ) V-7 dx"- -\- 2 -~-r dx dy + -~ dy' + -^ d- y = o, dx- dx dy -^ dy- "^ dy -^

car le second terme de l'expression qu'on différentie est un produit composé des deux facteurs varia cette deuxième relation, on déduiia d-y

produit composé des deux facteurs variables -f- et dy; et, de

564 ALGÈBRE SUPÉRIEUnE.

En poursuivant de même, on a encore

%Ldx^-h^ -^-^ dx- dy-^Z -^^-, dx dy^^ ^,dy^ ,, , dx'^ dx- dy ^ dxdv *^ dy^ -

' ^V , d'-f , \ „ df ,.

d^/--^^^'^y)^-y^-ty^'y-'

cl, de cette troisième relation, on déduira d^y^ etc.

On pourrait simplifier l'écriture en réunissant sous la forme symbolique (658) les trois premiers termes de la formule (3) et les quatre premiers termes de la formule (4).

Les formules indiquées feront connaître successivement

les différentielles dy, d^y, d^y, ..., et, par suite, les déri-

, dy d'Y d^y

vees correspondantes -7-5 -7^' -r^' • • •• dx dx- dx^