Soit encore l'équation
a; et y étant choisies comme variables indépendantes et dx et dy étant supposés constants, z sera une fonction implicite de ces variables. Le même principe (667) permet de poser, pour la différentielle totale de la fonction/,
(0 ^dx^^dy-^^^dz^o,
d'où l'on tirera dz différentielle totale de z, en fonction de x, y, z, dx, dy.
De même, la différentielle totale du, premier ordre de la fonction / étant nulle, la différentielle totale du deuxième ordre le sera aussi ; et, en différentiant le premier membre de la relation (i), on aura, en employant immédiatement la forme symbolique (658),
/df , df , df ,y- df -, ( 2 ) [ ^ dx -^ --J- ciY -^ ^ dz] ^ -^ d- z = o,
\dx dy " dz J dz
équation d'où l'on tirera f/-s en fonction de x, y, z, dx, dy^ puisque dz est connue.
Remarquons, en effet, de nouveau, que les dérivées par-
, ,, df df df 1 n ■ ,
tielles -r-) -r-}-r-i sont des fonctions de x, y, z, et que dx dy dz "^
chaque terme de la relation (1) doit être diffêrentié par rap-
port à X, par rapport à j et par rapport à s, dx et dy étant constants, mais non dz.
On différentiera le premier membre de l'équation (2) pour trouver d^ z, etc.
669. Au lieu de calculer les différentielles totales, on pourrait chercher comme il suit les différentes dérivées partielles qui y entrent.
Reprenons l'équation
Posons, comme nous l'avons indiqué (665),
dz dz
11 viendra (655)
dx^P^ dJ'^'J-
dz =1 — dx -\- -^ dy T=z p dx + q dy.
Nous poserons de même (065)
dJF'~''' 'dJdTy '~^' ^-~ ^'
de sorte que nous aurons (658), dx et dy étant constants,
d- z ■= -j-^ dx'^ -+- 1 —, — ^ dx dy + -j^ dydx^ dx dy " dy^ ^
ou
d'^ z = r dx- -{- 2s dx dy + t dy- ;
et ainsi de suite.
On voit que la question est ramenée, pour obtenir dz et d-z, à trouver/», g, r, s, t.
Pour avoir p et q, on ^différentiera l'équation (i) en y regardant successivement comme seule variable x et j* dont z est une fonction. On aura ainsi (567), en divisant respectivement les deux résultats par dx et par dy,
df dfrh__ d£ df dz
dx dz dx ' dy dz dv '
c'est-à-dire
dx dz dy ' dz '
566 ALGÈBRE SUrÉRIEURE.
d'où l'on déduit
dl dl
dx dv
dz dz
Pour avoir ensuite r, s, t, on différentiera de nouveau et dans les mêmes conditions les équations {2) par rapport à x puis par rapport à y. Comme la différentiation de la première de ces équations par rapport à y conduit à la même expression que la différentiation de la seconde par rapport à x, nous n'aurons que trois équations distinctes qui seront, en divisant encore respectivement les résullats trouvés par dx et par dy.
d\f dx'
d-f dz d-f dz d\ffdz\^- df d^z dx dz dx dzdx dx dz- \dx j dz dx- '
d^f dz d^f dz d-f dz dz df d'z
dx dv
dx dz dy ' dz dv dx ' dz- dv dx ' dz dx dy
d-f dz d\f dz d\ffdz\^- dfd'-z ^dydzdy ' dzdydy ' dz\dy) ' dz ~dy^ " °'
c'est-
-à-dire
1 d'f d'-f ,d^f df [dx^ -^'l\lxdz-^J''d^ -^'- ^. = ^'
] d'- f d'-f d'-f d'-f df 1 dx dy ' dx dz dy dz ' ^ dz^ dz
\ d^f dH- ,d'-f df
-ri -t- 2^ , , -f- q--~ +t -j- = 0. > dy^ ^ dy dz ^ dz- dz
p e\ g étant déterminées, les équations (3) donneront successivement et sans élimination les dérivées partielles du deuxième ordre r, s, t. t
On pourra continuer de la même manière en différentiant les équations (3).
Il est utile de remarquer qu'on a (387)
dq z= — — ^ dx H- -r-^ dy =^sdx h- / dy. ' dxdy dy- ^
G70. Le cas le plus général est celui où l'on a m équations
et p variables {m </?). Dans celle hypothèse, m variables pourront être regardées comme des fondions implicites des p — m antres variables considérées comme indépendantes et dont les différenlielles resteront constantes.
Les seconds membres des équations proposées étant réduits à zéro, les premiers membres de ces équations seront constamment égaux à zéro et leurs différentielles des divers ordres seront toutes nulles.
La différentielle totale d'une fonction étant toujours la somme des différentielles partielles de la fonction par rapport à toutes les variables, indépendantes ou dépendantes, qui y entrent, nous différentierons une première fois les premiers membres des m équations données, et nous obtiendrons les différentielles du premier ordre des m variables prises pour inconnues à l'aide d'un système de m équations du premier degré. Une seconde diil'érentiation nous conduira à un nouveau système de m équations du premier degré renfermant comme inconnues les différentielles du deuxième ordre des variables désignées, etc.
