iH-l

Si l'on suppose maintenant h infiniment petit et égal à dr, les termes successifs du second membre deviennent des inliniment petits (639) dont l'ordre va en augmentant et, par suite, l'erreur commise en s'arrètant à un certain terme est un infiniment petit d'ordre supérieur relativement au dernier terme conservé.

On présente souvent ainsi la formule de Taylor; et, dans ce cas, les termes de la série permettent d'approcher de la valeur de F(^ + h) par une suite d'approximations dont l'ordre est de plus en plus élevé, l'erreur qui persiste après l'addition de chaque terme étant infiniment petite par rapport à ce terme lui-même.

682. Il faut bien remarquer que la formule (A) [675] peut être exacte jusqu'à une certaine valeur de « -+- 1 et devenir inexacte pour une valeur plus grande, parce que les dérivées qui suivent la (n + 1)'^™^ dans le développement deviennent infinies pour la valeur spéciale attribuée à x. On doit alors ne poursuivre le développement que jusqu'à la «'«™« dérivée et le compléter par le reste. Il est clair d'ailleurs que le

Of, C. — Cours. III. 37

5~8 ALGÈUl'.E SCPÉPiinURE.

développement peut se trouver en défaut dès le premier terme.

683. De même, il ne suffit pas que le second membre de la formule (A) soit une série convergente, pour pouvoir affirmer que la formule est exacte; car cette série peut avoir une limite ditférenle du premier membre F{a; -{- h).

Si Ton a, par exemple, ¥ {jc) z=zf{jc) -h o{a:), et que la fonction /(j?) soit développable par la formule de Tavlor pour la valeur ^ = ^o> tandis que, pour cette valeur, la fonction 9(^) demeure nulle, ainsi que toutes ses dérivées, sans être pour cela identiquement nulle, le développement de F(a?o-T- A) donnera précisément lieu à la série convergente qui a pour Um'ile f{a-o-\- à) et non F(^oH- A)-

L'exactitude de la série de Tavlor ne peut être établie quen prouvant que le reste qu'il faut ajouter à la somme d'un nombre quelconque de termes de la série pour obtenir ¥{jc — h) tend vers zéro autant qu'on veut, quand le nombre des termes considérés augmente indéfiniment.

Formule de Maclaurin.

68i. On peut, dans la formule (A) [675], permuter x et //. On a alors, puisque le premier membre ne change pas,

1 .2.3. . .n{p -i-i) Si l'on suppose maintenant h^^o, il vient

(C) ' -h -^ F'" yo)^...+ —^ F'^ (o)

\ ■ 1.2.3. ..«(/> — ij

On donne à ce résultat le nom de formule de Maci alrfn.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 5'jCf

bien qu'elle ne soit, comme on le voit, qu'un cas particulier de la formule de Taylor, et que Maclaurin lui-même, clans son Traité des Fluxions, l'attribue à Taylor.

La série, ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de X, qu'on obtient dans le second membre de la relation (C) quand on fait croître n indéfiniment, a F(^) pour limite, toutes les fois que le terme complémentaire ou le reste de la série a lui-même zéro pour limite.

Ce reste, pour n ^=^p, prend la forme simple

, F«+' {Qx) ;

pour/? = o, il devient

Comme nous l'avons déjà observé pour la série de Taylor (679), tout développement d'une fonction F(ip) en série ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de ^ se confond nécessairement avec celui qui est donné par la formule de Maclaurin.

Les remarques des n"» 682 et 683 s'appliquent également à la série de Maclaurin.

685. Si l'on avait trouvé d'abord la formule de Maclaurin, on en aurait déduit imméaialement celle de Taylor, en considérant F(^-t- h) comme une fonction de h et en la développant suivant la formule de Maclaurin. On obtient ainsi, en effet, puisque, lorsque l'on suppose /i=o dans Y{x + h), il reste F(^),

F(.^ + h) = F(^) + -^ F{x) + -^^ F"(^) +. . .; ce qui est la formule de Taylor.

Extension des formules de Taylor et de Maclaurin aux fonctions de plusieurs variables.

686. Nous considérerons une fonction de deux variables. Le raisonnement que nous allons présenter s'étend sans difficulté au cas otj la fonction proposée contient trois ou un plus grand nombre de variables.

ObO ALGEBRE SUPÉRIEURE.

Nous pourrions suivre la marche indiquée pour le développement des fonctions entières, dans le cas de deux variables (329).

Ainsi, prenant la fonction quelconque F {a:, y), nous commencerions par développer F(j" -h A, j), suivantles puissances de h et d'après la formule de Taylor (675), en regardant ^ comme seule variable. Dans le résultat obtenu, nous changerions j en y + k, et nous développerions chacun de ses coefficients d'après la même formule et suivant les puissances de k. Nous parviendrions de cette manière au développement de ¥{x -\-h, y -Y- k). Mais il est préférable de suivre une autre marche due à Caucbv, et qui conduit à une expression plus simple du reste.