I) Vrt'j? dy /,x=,r+fjA, .r=y

Les indices inférieurs signifient que, après avoir régulièrement formé le dernier développement, on devra y remplacer X eiy par x -+- dh et j -h 6k, 9 étant une fraction positive proprement dite

Lorsque le dernier terme du second membre a pour limite zéro, quand n croît indéfiniment, F{x -h h,y -h k) se trouve développée suivant une série convergente indéfinie.

C'est ce qui a lieu nécessairement, lorsque aucune des dérivées qui entrent dans le terme complémenl;iire ne peut devenir infinie par la substitution de ^ -h 9h et de y -\~ 9k îx la place de x et de y. Admettons, en effet, que P soit un nombre supérieur en valeur absolue à chacune de ces dérivées. Le terme complémentaire sera alors évidemment inférieur à

pn-hl I . 2 . 3 . . . ( /i -4- I ) ^ '

et cette expression a pour limite zéro lorsque n croît indéfiniment (678).

688. Si l'on suppose que h et k devieinient les infiniment petits dx et dy, on a

, fdF , dF , \'" , ^,

La formule (D) [687] prend alors la forme F(^ -+- dx,y + dy)

d"F{x,y) ^ [r^+tF(j-,r)],^^6,/.^.y^6rf.ri^ I . 2 . 3 . . . /l I . 2 . 3 . . . ( /l H- I )

la valeur de la différenlielle du (/i + i)'^"' ordre répondant, non plus à ^ et à r, mais à une valeur de a: comprise entre a: et 07 H- dx et à une valeur de / comprise entre y et y -+- dy.

La formule (D') montre que l'expression de l'accroissement infiniment petit d'une fonction de deux variables est identique à celle de l'accroissement infiniment petit d'une fonction d'une seule variable (681).

Si dx et dy sont infiniment petits principaux ou du premier ordre, chaque terme du développement obtenu est infiniment petit par rapport à celui qui le précède, et l'erreur commise en s'arrètant au terme d'ordre n est un infiniment petit d'ordre « + i.

089. Pour étendre maintenant la formule de Maclaurin (684-) aux fonctions de deux variables, il suffit de faire à la fois^^o et / = o dans la formule (D) [087]. En désignant

. (^H\ i'îl\ (tl^ XdxJ^' \dyJo' \dx-

différentes dérivées, on a ainsi, en elïecluant,

•> ce que deviennent alors les

dxjo

MS

\dxdyjf,

Comme h et k sont complètement arbitraires, on peut les remplacer par x et par v, et il vient

( ^'^ \ \dxdyjn

€'est la formule de Maclaurin étendue au cas de deux variables.

Le terme complémentaire devient

dF cŒ

dx dy

c'est-à-dire que, dans les différentes dérivées qui y entrent,

584 ALGÈBliE SUPÉPaECRE.

on doil remplacer x par 5j? et y par 9y, 9 étant toujours un nombre indéterminé, positif et moindre que i.

690. Il ne faut pas perdre de vue que les formules de Tavlor et de Maclaurin ne peuvent être étendues ainsi aux fonctions de deux ou de plusieurs variables, qu'autant que la fonction proposée et toutes ses dérivées partielles restent continues et finies jusqu'à l'ordre n + i inclusivement, pour toutes les valeurs de x et de j comprises dans l'intervalle considéré (675).

ALr.ÈBRE SUPÉRIKUUE. 585