CHAPITRE XIII
APPLICATION DE LA FORMULE DE MAflLAURIN A QUELQUES DÉVELOPPEMENTS IMPORT-\NTS.
Développement de la formule du binôme pour un exposant quelconque.
691. Proposons -nous de trouver le développement do (a H- b)"\ dans le cas où 1 exposant m est quelconque.
L'expression (a-j-ô)'" est alors susceptible de plusieurs
valeurs, dès que m n'est pas un nombre entier, positif ou
négatif (128, 129, liO, 145). Mais, si a + 6 est une quantité
l)ositive, l'une de ces valeurs est réelle et positive, et c'est la
seule que nous considérerons ici.
b En posant - = .r, nous écrirons a
(a+ b)"'=a'" ( H- -y"= a^{i 4-^)'", et la question est ramenée à développer
Or nous avons trouvé précédemment, d'une manière générale, pour la dérivée du «'■'•"^ ordre de x"' (6il, i"),
m {m — i) (/« — i){ni — 3). . . (m — « + i)x'"~'^.
Nous n'avons évidemment qu'à remplacer, dans ce résultat, X par I + X (oCi), pour avoir
et
F"(o) = /w(m — J)("^ — i){ni — 3)... (m — n-\-\).
Il en résulte immédiatement, d'après la formule de Mac-
ALGEBRE SUPERIEURE.
lauriii (68i), et en écrivant le résultat de manière à lui donner l'aspect du développement habituel (255),
jn m{m — i)m{m — \)( m
m {m — 0 ( ''^ — 2) . . .(fn — « -f- i )
771 {m i) {ni 2) ...{771 71 )
Qua7id X est plus grand que i e7i valeur absolue, la série obte/iue, abstraction faite du terme complémeninire, est divergente.
En ctTet, le rapport de deux termes consécutifs, tels que
771 {/n — \) (ni — 2) . . .{ni
m {m — \{i ni — 2 )...(//? -
est représenté par
Ce rapport a donc pour limite — x quand n croît indéfiniment; et, par suite, quand la valeur absolue de x est plus grande que i, la série est diverge'nte (:5G2).
On voit qu'iV ne peut y a\'oir co7iverge/ice que si x est. 77ioi7idre que i en valeur absolue; et ce n'est que dans ce cas qu'il est nécessaire de s'assurer que le reste de la série a pour limite zéro.
Supposons d'abord X compris entre o et i, c'est-à-dire positif.
On peut mettre le reste sous la forme (li5)
m {m — i) {ni — 2). . .{m — n) 1 . 2 . 3 . . . ( rt -t- 1 )
