I -1- Bx
La première parenthèse tend vers zéro, quand 71 croît indéfiniment; car, lorsque n croît d'une unité, elle se trouve multipliée par le facteur
ALGEBRE SUPÉRIEU P.E. 5S'J
quanlilé qui, pour n assez grand, se rapproche autant qu'on veut de — .x (ce qu'on voit en divisant les deux termes de la fraction par n), c'est-à-dire devient moindre que i en valeur absolue. On a donc à considérer dans cette parenthèse, et à partir d'un certain point, une suite de facteurs dont le nombre augmente indéfiniment, qui sont plus petits que i et décroissants, et dont, par conséquent, le produit a pour limite zéro, de sorte que cette limite est aussi celle de la parenthèse (478, 340).
La seconde parenthèse est évidemment moindre que i et sa limite est zéro pour n assez grand, à moins que 9 ne tende vers zéro en môme temps que n tend vers l'infini; dans cette hypothèse, elle tend vers la limite i en restant moindre que I.
Le reste de la série a, par conséquent, zéro pour limite dans tous les cas, et cette série est convergente lorsque a:, positif, est compris entre o et i .
Supposons maintenant x compris entre o et — i, c'està-dire négatif.
Le raisonnement précédent n'est plus applicable, parce que la seconde parenthèse indiquée dans l'expression du reste devient plus grande que i pour n assez grand et croît indéfiniment en même temps que n, à moins que 9 ne tende simultanément vers zéro; et, alors, elle tend vers la limite i, en restant supérieure à i.
Il faut donc avoir recours à la seconde forme du reste, qui est ici (684)
nxiîn — I ) ( m — 2 ) . . . ( ni — n )
On voit, comme ci-dessus, que la première parenthèse a pour limite zéro lorsque n croît indéfiniment. Quant à la seconde parenthèse, on peut l'écrire, en remplaçant x par — r-, puisque x est négatif,
/ I fl \« (i-0^)'«
\ — Bz)
La fraction j~ est une fraction proprement dite, et sa
puissance /i'^'"" tend vers zéro ou vers l'unité à mesure que n
000 ALGEBRE SUl'ERlEURE.
augmente, tandis que la puissance {m — i)ipme ^^ \^ fraction
1 — ^z demeure toujours une quantité finie.
Le reste de la série a donc encoie zéro pour limite, et cette série est aussi convergente lorsque a-, négatif, est compris entre cet — i .
En résumé, pour toutes les valeurs de x comprises entre — I et 4- I, on a
jn m (m — i ) „
ni{ m — \') { m — 9.^ . . .{ m — « -l- i ) H ^ a:" +
Le développement de {a -\- b)'" suivant la formule habituelle (253), lorsque l'e.vposant m n'est plus entier mais quelconque, n'est donc permis que dans l'hypothèse oii a est plus grand que b en valeur absolue.
692. Il nous reste à examiner les cas particuliers où l'on a x^±i, pour lesquels les raisonnements précédents ne sont plus admissibles.
La formule qu'on vient de démontrer ayant lieu pour toutes les valeurs de x comprises entre -f- i et — i et, par conséquent, pour des valeurs de x aussi proches qu'on voudra de 4-1 ou de — i, sera encore vraie pour .2; = h-i ou pour ^= — I, à la condition que les séries correspondantes du second membre demeurent convergentes ; car les deux membres de la formule étant toujours égaux dans l'intervalle indiqué, si chacun d'eux tend vers une limite déterminée pour x=z-^\ ou pour^ = — I, ces deux limites seront nécessairement égales entre elles (33i).
Or, pour ^=:±i, on obtient les deux développements suivants :
m m (m — i ) m{ m — i) {ni — 2 )
ni {m — i) (ffi — 2). . .{m — n -h i)
ALGÈBRE SUPÉPiIEURE. 689
Le rapport d'un terme on précédent est (691)
Si m-\-i est un nombre négatif, c'est-à-dire si m est compris entre — i et — co, ce rapport est plus grand que i en valeur absolue, et la convergence est impossible pour les deux développements à la fois, puisque leurs termes ne tendent pas vers zéro (302).
A la limite, pour m= — i, le rapport — — est égal
à ^11, de sorte que les termes des deux séries considérées ont tous la même valeur absolue et que la convergence est encore impossible. La première devient la série indéterminée I — I + I — I + . . . , et la secoiide, la série divergente
Il faut donc supposer m -+- 1 positif, c'est-à-dire ni compris entre — i et + oo.
Considérons d'abord le premier développement. Le rapport d'un terme au précédent est ici
de sorte que, pour m -+- 1 positil et pour n assez grand, ce rapport finit toujours par être moindre (jue i en valeur absolue;. Les termes de la première série finissent donc par diminuer de l'un à l'autre, en étant alternativement positifs et négatifs, ce qui entraîne la convergence de la série (SOI ). Finalement, on a
tant que m H- i est positif.
Considérons le second développement. On a alors
Un /m + 1 \ m -\-i
Ce rapport, pour n assez grand, finit toujours par rester inférieur à i; mais sa limite, pour n = oc, est égale à l'unité : on est donc dans le doute (375).
5gO ALGÈBRE SUPÉRIFXRE.
Pour décider, désignons par (U ) le développement
et coin parons -le à la série (V)
On a, en même temps, pour le rapport d'un terme au précédent dans les deux séries,
Un-\ " ri
et
X ou - étant ici moindre que i, on peut appliquer à cette der-
DÎère expression la formule du binôme (G91 ) et écrire, en se bornant à trois termes,
On a donc, puisque /n -h i est positif,
-^>^^ ou ^<'i^.
Il en résulte (383, 367, VI) que la convergence de la série (V) doit entraîner celle de la série (U). Or la série (V) est convergente, lorsque m est positif (377, 3°); il en est donc de même de la série (U).
Ainsi, /' on a
m m (771 — i) 771 (ni — i) (ni — 2 )
tant que ni est positif .
U est clair, d'ailleurs, que le premier membre de la formule devient infini, lo7sque m est négatif, et que, par suite, la série du second membre est alors divergente.
ALGÈI5UE SUPÉKIEUUE. 5g l
Développement des fonctions exponentielles. 693. 1° Soit d'abord
Toutes les dérivées de la fonction e^ sont égales à celte fonction. Elles restent donc finies pour toute valeur finie de A-, el elles se réduisent à l'unité pour j7 = o, comme la fonction elle-même. Quant à la (n + i)'^'"" dérivée F"+'(9^), elle devient e^^, et l'on a, en prenant la forme la plus simple du reste (684),
Le facteur
peut devenir plus petit que toute quantité donnée, lorsqu'on fait croître n indéfiniment, comme on l'a déjà démontré (678). D'ailleurs, e^-^ est une quantité finie. Le terme complémentaire du second membre ou le reste de la série a donc zéro pour limite. Par suite, cette série est convergente, et l'on peut écrire
résultat déjà obtenu par une autre voie (418).
