Soit

Nous ne prenons pas directement la fonction Ix, parce que nous voulons appliquer la formule de Maclaurin et que, pour x^^o, la fonction Ix et toutes ses dérivées seraient infinies (i96, 586).

D'après le résultat obtenu d'une manière générale (6il, 3°), on peut évidemment écrire, pour le cas considéré de Y{x) z=z l{i-^ x) et en se reportant au théorème des fonctions de fonctions (56V ),

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. UqS

On trouvera donc directement la première dérivée de la fonction

et l'on aura ensuite, en faisant successivement n z= 2,3, ... u, dans la formule ci-dessus

F«(^) = (— i)"-' 1.2.3... (rt — i)(i-i- ^)-'' = rp 1 . 2 . 3 . . . ( /i — I ) ( I -I- ^ ) - " ,

(i -h ejc)"-

j.rt+1

Il viendra donc, en faisant .r =: o dans la fonction et dans ses dérivées successives, sauf la dernière, et en se rappelant (496) que /.i = o,

~^ n «4-1(1-1- ^jx)"-"^^

Nous avons déjà étudié cette série (397, -i"), abstraction faite du terme complépientaire, et nous avons reconnu qu'elle était divergente lorsque x était supérieur à i en valeur absolue ou égal à — i, et qu'elle était convergente lorsque x était inférieur à i en valeur absolue ou égal à -h i.

Nous allons vérifier de nouveau cette convergence, en considérant le terme complémentaire qu'on peut écrire

Si J7 a une valeur positive moindre que i ou égale à i,

— '—jr- est une fraction proprement dite dont la puissance

(/i 4- i)ièiue peyt, devenir moindre que toute quantité donnée Le reste de la série a donc alors zéro pour limite, et la série est convergente.

De C. — Coursi. III. 38

594 ALGÈBRE SUPénrEURE.

Si ce Si une valeur négative comprise enlre o et — i, posons a:^^z. Le terme complémentaire deviendra, en laissant son signe de côté (3i0),

Sous cette forme, on ne peut pas affirmer que le reste de

la série tende vers zéro, parce qu'on ne sait pas si — ^^^ est

une fraction proprement dite. Pour lever la difficulté, nous aurons recours à la forme plus générale du reste (68i)

On trouve alors, pour le terme complémentaire qui répond à la fonction /(i + o?), en remplaçant toujours^ par — ^sans tenir compte du signe du résultat,

■ (i — 5)"i.2.3...«(i— Qz)-"--^

ou

( - Sz)^ ^^ ^ ^„^j = i^^^j YIT^-

z — Bz Comme r est moindre que i, 7— est une fraction pro-

prement dite inférieure à i, et sa puissance n'''""' a zéro pour

limite quand n croît indéfiniment; — ^^^ est d'ailleurs une

quantité finie inférieure à — ^ — Le terme complémentaire ^ I — z

de la série a donc zéro pour limite, et la série est encore

convergente.

En résumé, pour toutes les valeurs de œ comprises entre

— I et + I, et aussi pour a; = i, on a

Pour ^ =^ — I, le premier et le second membre de celte égalité deviennent tous deux, égaux à — oc; car le premier membre se réduit à /.o^ — oc (496), et la série du second

ALGÈBRE SUPÉRIEUUE. 5q5

membre se confond avec la série harmonique (363) changée de signe.

Le développement que nous venons d'établir va nous conduire aux formules relatives au calcul des logarithmes.

Calcul des logarithmes népériens.

G97. La série

\ / , \ «-*^ "-A iX. «X-

i) l{i~ha;)= \- ~ y--+-...

étant convergente (690) pour loules les valeurs de x comprises entre — x exclusivement et -t-i inclusivement, on peut

d'abord y changer œ en ^, en désignant par N et par ^< N

deux nombres positifs quelconques. 11 vient ainsi

Ny N

de sorte que l'on peut écrire

(,) /(NH-.) = ^N+ = --fi^^-^4,+....

On peut aussi changer a- en — .r dans l'égalité (i), à ta concUtioii que x demeure Lonjours compris entre o et i . On obtient alors la nouvelle égalité

En retranchant l'égalité (3) de l'égalité (i), on a

Comme -— — estplus grand que i, on peut poser, en désignant par :; et par N deux nombres positifs quelconques,

N " N d'oi^i il résulte

dqB algèbre supérieuke.

Le premier memljre de la relation (4) devenant

on peut écrire, en remplaçant x par sa valeur dans le second membre,

On voit que les formules (2) et (5) permettent de calculer le logarithme népérien du nombre N 4- s lorsque l'on connaît celui du nombre N.

En faisant, en particulier, 2=1 dans ces deux formules, on a