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699. C'est en réalité au moyen de la série (7) [697] que l'on calcule les logarithmes népériens. Eu faisant d'abord dans cette série N =: i , on a, puisque /. i = o,
On commence par réduire en décimales les fractions -^
-^j ô"7' ■ ■ ■' c'^ divisant par 9 les résultats successivement obtenus à partir du premier; puis, on divise respectivement les quotients correspondants par la suite des nombres impairs
En prenant les dix premiers termes du second membre, on obtient, avec dix décimales exactes,
OgS ALoi-EUE SUPÉRIEUUE.
En supposant N =: 2, clans la même série (7), on a
On réduit d'abord en décimales les fractions ^^ — , > — >
^j •••» en divisant par 25 les résultats successivement obtenus 5'
à partir du premier; puis, on divise respectivement les quotients correspondants par la suite naturelle des nombres impairs. On abrège le calcul en remarquant que, au lieu de diviser par 25, on peut diviser par 100 et multiplier par 4-
On a ainsi, avec la même approximation et en conservant huit termes dans le second membre,
On obtient /.4, en doublant L2, et l'on trouve
En faisant N = 4 dans la série (7), il vient
On obtient les fractions -, -,> -^j — .» ■■ ■■> en divisant par 3 9 9 9 9'
les fractions déjà calculées 0' 0^' 3^' ôtï' • • •' et I on n a plus
qu'à diviser les quotients correspondants par la suite des nombres impairs. En conservant les six premiers termes du second membre, on a, avec dix décimales exactes,
On a ensuite
En faisant N = 6 dans la série (7), on trouve l.-:, etc.
Calcul des logarithmes vulgaires.
700. Pour passer des logarithmes népériens aux logarithmes vulgaires dont la base est 10, il suffit de multiplier les pre-
ALGÈBRE SUPÉllIKURE.
miers par le module relatif (oOG)
•>yy
t. lu
On a d'ailleurs
/.IOi=/(2.0)=r/.2-h/.ij,
c'est-à-dire, d'après ce riui précède (6*J9),
/. lo = 2,3o25S5o93o
II vient donc
M = y-^ = o,434294'iSr9.
Nous avons déjà donné (506) les valeurs de /. lo et -, avec
quinze décimales exactes.
Si l'on multiplie maintenant par M les deux membres de l'égalité (7) [697], on a évidemment
8) log(N-+-i) = logN + 2M
3(2x\ + Ij-' 5(2
■nVt? -^-l
et c'est à l'aide de cette dernière série qu'on a établi les Tables usuelles.
Les premiers calculs seuls sont pénibles.
En etfet, lorsqu'on ne conserve que le premier terme de la parenthèse du second membre, il suffit évidemment, pour avoir une limite supérieure de l'erreur commise Ei, de faire z =. I dans la limite indiquée pour E au n" 698 et de la multiplier par M. On a ainsi
