VN

Lorsqu'on ne conserve, dans la parenihèse du second membre de l'égalité (8), que les deux premiers termes, Ferrcur commise E2 est moindre que

ou que

(2N-j-i)^ (aN-hij*

6oO ALGiiBRE SUrÉPilECnE

On a donc, en simplifiant, E,<

et, a fortiori,

M étant moindre que -■> il résulte de la valeur de E, nue,

dès qu'on est parvenu au nomI)re loi, il suffit de conserver les trois premiers termes du second membre de l'égalité (8), pour obtenir log(N + i) avec dix décimales exactes; car on a

alors, en remplaçant M par ->

ibo 10"* 10'-

II résulte de même de la valeur de Ej que, dès qu'on est parvenu à looi, il suffît de conserver les deux premiers termes du second membre de l'égalité (8), pour obtenir log(N +1) avec huit décimales exactes; car on a alors, en

remplaçant M par ->

Ei<— -^ ou E,<— ^• 24 10^ 10'"

Justification directe de l'emploi de la règle des parties proportionnelles dans les calculs par logarithmes.

701. Nous avons admis, en traitant des logarithmes ariihmétiques {Alg. élém., 364 et suiv.), qu'il y avait proportionnalité entre les petits accroissements donnés aux nombres et les accroissements correspondants de leurs logarithmes; et nous avons montré que, lorsqu'on opérait à l'aide de la partie la plus élevée des Tables, on arrivait ainsi à un résultat exact, à la condition de ne pas conserver plus de sept décimales dans l'expression des logarithmes et plus de sept chiffres significatifs dans celle des nombres.

C'est sur ce point que nous voulons revenir ici.

Nous avons trouvé (69G), pour l'expression du reste de la

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 6o r

série (i) [697], dans le cas de x positif,

Tl-\-\ (l+ 6'J?)" + 1

Ce reste a donc le signe de (— i)'', et sa valeur absolue est moindre que : en désignant par 0, une quantité com-

prise entre o et i, on peut, par conséquent, le représenter encore par la formule

Si l'on se borne aux deux premiers termes de la série, en supposant x compris entre o et i, on a donc, en faisant

En remplaçant x par ^ [équation (2), 697], il vient

ou, en multipliant les deux membres par le module relatif M pour passer aux logarithmes vulgaires (700),

(11) iog(N + ^)-logN = M(^-^')-

Si l'on fait z =: i dans cette relation, il faut substituer à ôi une nouvelle valeur 6^ aussi comprise entre o et i, et l'on a

(12) iog(N4-i)-logN = M(^--|-,).

Cela posé, représentons par ô l'accroissement du logarithme du nombre N, quand ce nombre prend l'accroissement z, et par A la différence tabulaire correspondante. Nous aurons

log(N+^)— logN=:ô et log(N4-i) — logN:=A.

La proportionnalité admise {Alg. élém., 367) conduit à

6o2 ALGicURE SUPÉPaKURE.

c'est-à-dire à

§ = zl et -=T-

Si l'on désigne par s l'erreur commise dans le calcul de Iog(N+5) à l'aide des Tables et par C l'erreur commise, réciprof]uement, dans le calcul du nombre N -f- i; si son logarithme est donné, on devra avoir en réalité

Remplaçons dans ces égalités ô et A par leurs valeurs déduites des équations (i i) et (12), et il viendra

£ := ô — zl

-zSl

et, en simplifiant immédiatement la fraction ^5

Puisque M est moindre que - et que les quantités z, 6»,, 6\

sont comprises entre o et i, on a nécessairement, en représentanl par ± e et =iz ? les valeurs absolues de £ et de Ç,

On voit donc que, si N est égal ou supérieur à 1000, comme dans le cas où l'on se sert des Tables de Houel à cinq décimales {Trigon., 122), l'erreur ± £ est moindre que le quart d'une unité du sixième ordre décimal, tandis que l'erreur

relalivc ± ;^ {Alg. élém., 370) est inférieure à une demiunité du même ordre, de sorte que l'emploi de la proportion

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 6o3

est légitime lorsqu'on se borne à cinq figures, soit qu'il s'agisse du calcul du logarithme d'un nombre donné ou de celui du nombre qui répond à un logarithme donné.

Si N est égal ou supérieur à loooo, comme dans le cas où l'on sert des Tables de Callet ou des Tables de Schrôn, édition française {Àlg. élém., 362), les erreurs dont il s'agit deviennent respectivement moindres que le quart et la moitié d'une unité du huitième ordre décimal; et l'on peut compter sur sept figures exactes dans les deux calculs qu'on a à effectuer.

Développement des fonctions sin.r et cosx.

702. Nous avons démontré précédemment (6il, 5°) que la dérivée d'ordre n de ?>\nx était égale à

sin [ X -^ n-

et que la dérivée d'ordre n de coix avait pour valeur

cos \ X -^ n-

II en résulte que les dérivées de sino: et de cos^ restent finies, quel que soit x.

D'ailleurs, on a vu (6il, 4°) que les dérivées de sinx reprennent périodiquement et indéfiniment les quatre valeurs

cosx, — siuj", — coix, sinx,

tandis que celles de cosx reprennent périodiquement et indéfiniment les quatre valeurs

— sinx, — cos.r, sin.^, cosx.

Les dérivées il'ordre impair sont, dans le premier cas, ±cos.27; les dérivées d'ordre pair sont, dans le second cas, q= cosj".

Pour x^o, les valeurs de la fonction sinj" et de ses dérivées ïovmenl donc une suite périodique ayant pour période

tandis que les valeurs de la fonction cosj? et de ses dérivées

6o4 ALGÈBRE SUPÉraEURE.

forment une suite périodique ayant pour période

En appliquant la formule de Hîaclaurin (68i), on aura donc

sin^

Comme on l'a déjà vu (678), le facteur

tend vers zéro autant qu'on veut pour n assez grand. Daulre part, dans le développement de sin^, toutes les dérivées d'ordre pair disparaissent, /i H- i est donc alors un nombre inipair et l'on a, d'après la remarque faite plus haut,

F"+'(9oC) =± cos{)cr,

quantité finie, quel que soit x.

Dans le développement de zq's,x, toutes les dérivées d'ordre impair disparaissent. « + i est donc alors un nombre pair, et l'on a

F"+*(9.r)=qicos9x.

Le reste a, par conséquent, zéro pour limite dans les deux séries, et l'on peut écrire, quel que soit x, les deux séries convergentes (397, 3'')

sin.r

cos^