Si l'arc x est compris sur la circonférence de rayon i
entre g et -? les termes des deux séries vont constamment en
diminuant, à partir du premier ])our le sinus, à partir du se-
ALGÈBRE SUPÉRIEUnE. 6o5
cond pour le cosinus, et l'on peut écrire les inégalités sinj:<J7, sinj:^x — V' sin.r-<.3? tt -\ ? •••»
cos.r <; I, cosr > I , COS.Z" < i 1 — 7 j • • ••
On obtient ainsi, pour le sinus et le cosinus d'un arc compris entre o et -5 dos limites plus resserrées que celles indiquées en Trigonométrie {Trigon., 105, 106). En particulier, la différence entre l'arc et le sinus est moindre que le sixième du cube de l'arc, et la différence entre le cosinus et l'excès de l'unité sur la moitié du carré de l'arc est moindre que le vingt-quatrième de la quatrième puissance de l'arc.
Développement de la fonction arc tangue.
70i. Considérons encore la fonction
yz=i ¥{x) =. arc tang^,
et cherchons d'abord l'expression générale de la /i'^™" dérivée.
En prenant les dérivées successives, on a immédiatement (613)
puis, de proche en proche (574),
Il est facile de continuer; mais la loi générale n'apparaît pas d'elle-même, et il faut suivre une autre marche pour la découvrir.
Partons de
dx i-h X-
6o6 ALGÈBRE SUI'ÉRIELTlE.
el posons
X = COtQ.
Nous aurons, en même temps,
9=:arccol^', (1 ou ~= =i — sin'o
et
-f- = 7- = sm^o.
ax 1 4- col- 9 ^
Nous trouverons donc successivement -T^ = 2 sino coscp-y— = — sin-o sin2C3,
d^ V . do . do . ^
-r^ =: — 2smc5 cos'j-r- sm2o — cos 2 cî . 2 -7^ sm- a dx"^ ' ' dx ' ' dx '
= 2 sin-o[2 sin-o cos-o + (cos-o — sin-o) sin-o]
= 2 sin^o[3 sino cos^o — sin''o],
c'est-à-dire {Trigon., 61)
-yH =:: 1 .2 sin^o sinSo,
dx-^ ' '
d'Y o • 2 do „ do .
-7— r =: 1 .2.0 sm-'o coso ~ smoo + 1,2 cosoo.o -r- sin^o,
dx* ' ' dx ' ' dx '
= — 1.2.3 sin*o[coso sinSo -f- sino cos3o],
c'est-à-dire {Trigon., 53)
-~, = — 1 .2.3 sin^o sin4o.
dx*
En poursuivant, on arrive évidemment à la formule générale
—^ :=F"(:r) = (— i)"-* 1 .2.3. . .(« — i) sin"osin«o.
dx'^ \ / . .
D'ailleurs, de
->- = -o = sin-o,
dx 1 -H a-
on déduit
sin" 9 — ,
ALGÈBRE SUl'ÉniEURE. 6oj
et l'on peut écrire finalement
t"-{a;)^ sin(/i arc cota:),
relation dans laquelle on fera « = 2, 3, 4» •••,«• On a directement F(o) = 0 et F'(o) = I.
Cela posé, comme arc coto= - et que sin«- est ée:al à o
o« à zfc I suivant que n est pair ou impair {Trigon., 29, 11, 12), la formule de Maclaurin conduit ici au développement
w j .r-"+i sin [(2« H- i) arc cot9^]
/ "*" in + 1 îE±}
Il nous reste à chercher les conditions de convergence de la série.
On a, pour la valeur absolue du rapport d'un terme au précédent.
A mesure que n augmente, ce rapport, toujours moindre que x"', tend donc vers x- autant qu'on veut et est égal à x^ DOUf n infini.
Par suite, la série est convergente (389) lorsqu'on a ^'<i, c'est-à-"'ire pour toutes les valeurs de x comprises entre — 1 et-Ki, et ccmme, dans cette hypothèse, le terme complémentaire de la série a zéro pour limite, lorsque n croît indéfiniment, le développement (i) représente bien arctang^r.
La série est encore évidemment convergente pour les deux valeurs limites OT = — i etx:=-M (394).
Lorsque l'on a, au contraire, x- > i, c'est-à-dire lorsque x est plus grand que t en valeur absolue, les termes de la série ne diminuent pas en ayant zéro pour limite (397, 2") : le terme complémentaire n'a donc pas lui-même zéro pour limite, et la série ne peut pas être convergente (362).
11 faut remarquer que, à une valeur donnée de x, répon-
6o8 ALGÈBRE SUPÉRIEUTIE.
dent une infinité de valeurs de la fonction considérée, arctang^ {Trigon., 43); mais, parmi ces valeurs et dans l'intervalle où la convergence existe, une seule se réduit h zéro quand ^ approche de o d'une manière continue : c'est
la valeur de arctangj; comprise entre et h — , et c est
celle-là que nous devrons choisir.
La série (i) a été donnée par Leibnitz, et elle porte souvent son nom.
Nous allons nous en servir pour calculer le rapport de la circonférence ait diamètre {Géom., 227, 233 et suiv.)
Calcul de tz.
