Soit une fonction de x de la forme

Il peut arriver que les deux termes de cette fraction deviennent ensemble nuls ou infinis, pour une certaine valeur de X égale à x^. La fonction prendra alors la forme iiidétcr-

minée - ou - {Alg. élénx., 116 et suiv.). Nous nous proposons de calculer sa véritable valeur, c'est-à-dire la limite vers laquelle elle converge, lorsque x tend vers la valeur spéciale x^.

La difficulté peut être levée très souvent à l'aide du tbéoréme suivant, auquel on donne habituellement le nom de règle rie l'Hospital. On la trouve dans son Analyse des infiniment petits, publiée en 1696, et elle lui appartient sans aucun doute malgré une réclamation singulièrement tardive de Jean Bernoulli.

Voici l'énoncé de cette règle remarquable :

Si les deux forictions f{x) et Y {x) tendent simultanément vers zéro ou vers l' infini, lorsque x tend vers une valeur spéciale Xq, rt si les dérivées de ces fonctions restent en même temps déterminées, les deux rapports

6l2 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

tendent vers la même limite lorsque x s' approche indéfini ment de x^.

707. 1° Admettons d' abord qu'on aitfi^x^') = o etY {x^ =j o. Nous avons démontré (636) la relation générale

7(0-0+ A) -/(■ro) /^(.To+g/o F(^o+/0-F(^o) F'(^o+6/0'

où B est un nombre compris entre o et i. Elle s'applique précisément dans les conditions supposées, et elle devient, dans l'hypothèse indiquée,

Y{xQ-^h) ¥'{x^-\-Bli)'

Les fonctions /et F étant continues et leurs dérivées déterminées dans l'intervalle {x^, Xo-h h), faisons tendre h vers zéro. Les deux membres de l'égalité précédente resteront constamment égaux et auront, par conséquent (33i), les mêmes limites pour h ^= o. On peut donc écrire

ce qui justifie l'énoncé précédent (706).

708. La démonstration que nous venons de donner exige que Xo soit une quantité finie, l'infini ne pouvant figurer dans les calculs comme une quantité déterminée (338).

11 faut donc examiner à part le cas de Xo^=<x>. Nous changerons alors de variable en posant

et nous aurons

Si X tend vers l'infini, z tendra vers zéro, valeur déterminée. On peut donc écrire, d'après ce qui précède (707), en

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 6l3

remarquant que /(M elF^M sont des fonctions de fonction de X (5Gi),

im i^—A = Il

lim

lim

=: lim

[pour ^ = g],

c'est-à-dire

lim ;Fr: — ^ = limj;;7f — { [pour^ = oc].

F{x) """F'(.r) La règle reste donc la môme.

709. 2» Admettons, en second lieu, qu'on ait f{xQ) =co et On peut poser

-IimI,

et l'on voit que, pour x = x^, les fonctions ^^r. — - et — - — - de-

viennent nulles toutes les deux. On peut donc encore appliquer la règle précédente (707) et écrire {o6ï)

Fix) lim ~ — - r= hm —

Si, pour X = Xo,

lim

f{oo)

¥{x) rente de zéro, on a donc (344)

tend vers une limite finie L, diffé-

lim^^::!^

ou

L = lim •;,, ' , [pour ,27 = ^01.

6l4 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Le théorème énoncé au n° 706 est, par conséquent, encore vérifié.

7'0. Il est nécessaire de montrer que la même conclusion subsiste, lorsque la limite L est nulle ou infinie.

Supposons-la d'abord nulle. Désignons alors par R une constante quelconque, et considérons la fonction

/(■^)^K on ■/•(■■^) + KF(.r) Ï=r7 — r +1^ OU ■ pr; ;

f(.r) Puisque, par hypothèse, la limite de • est nulle, la li-

mite de la fonction qu'on vient de former doit être égale à K. On peut donc appliquer la règle (T09) et écrire

Il en résulte évidemment

f{x) Si la limite L de ^^ — { est égale à l'infini, la limite du rap h {x)

port inverse est zéro. On a donc, d'après ce qu'on vient de

démontrer,

lim -j' — '- = lim -T7- — - = o,

et l'on en déduit immédiatement

711. La règle de l'Hospital ne fait, en réalité, que reculer la difficulté; car il peut arriver que les dérivées /'{x) et F'(x) soient aussi, ensemble, nulles ou infinies pour x = Xq, comme les fonctions /(j?) et F{.t) elles-mêmes

On doit alors répéter l'application du théorème relativement à la nouvelle fonction

ALGÈBKE SUPÉRIECllE. 6l5

en la remplaçant par le rapport

et continuer de la même manière si l'indétermination subsiste toujours.

Il faut donc généraliser comme il suit l'énoncé du théorème (706) :

Si les fondions f{œ) et F(^) sont simultanément nulles ou infinies pour x =r x^y et que l'on sait obligé de poursuivre le calcul de leurs dérivées respectives j usqu' à celles de l'ordre n, afin d'en trouver au moins une qui ait une valeur finie différente de zéro pour x = Xq, on a

lim ;;f— ; =limf— ^ [pour a.- = ^0]h (x) b"{x)