Suit l'expression
~m rit*
Ou demande sa véritable valeur pour x = a.
En appliquant la règle précédente, il vient (576)
lim — = (pour X = a),
c'est-à-dire que la valeur chercliée est
ma'"-K
On peut facilement vérifier ce résultat, puisqu'on connaît le quotient de x"^ — (7'" par x — « et qu'on a (14)
j^in Clin
= ^m-i l ax'"-'^^ a-x"^-'^-\-. . .^- a^^-^x -h «'«-'.
Si l'on fait x = n, le polynôme du second membre se réduit bien à ma"'-K
2° Chercher la limite des deux rapports siii.r tan2;jr
pour X = o.
^l6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
On a ici (598, 60])
,. sinx ,. cos,r ^
lim — — = lim [pour j- = o] = I,
,. tanç.r ,. i ^
lim — =^^— = lim — -— pour x = o ]= i.
X Ç,<iiy-X
Ce sont les résultats obtenus en Trigonoaiélrie {Trigon., lOi).
3° Soit l'expression
e^ — e-^— IX X — sinj;
On demande sa véritable valeur pour x = o.
Nous serons forcé ici (7H) d'appliquer successivement la règle jusqu'aux troisièmes dérivées. On a, en effet,
,. e^ — e-^ — IX ,. e^-f-e-^ — 2 ^ , o
lim -. = lim [pour j; = ol = - ;
U7 — sm,r 1 — cos^' G
puis,
et enfin
lim = lim — : [ pour ^ = o] = - ;
I — cosj: sin.r "-^ o
lim — : = Imi [pour ^7 = 0]= -
sin.r cosj; i
La vraie valeur cherchée est donc égale à 2. 4° Soit le rapport
ail a est une constante positive et n un entier positif. On demande sa véritable valeur pour x ^ y:.
Il faut appliquer successivement la règle (711) jusqu'aux dérivées d'ordre n.
On a, en effet, en supposant a plus grand que i,
,. «^ .. a^la ^ -, -Ji
lim — = lim [pour j: = ce] = — ;
,. a^la ,. a'^(la)- ^ -, 00
uni — — -: = lim — ^ ■ [pour x = x\= - ;
a^(la)n-i ,. a^(la)'^ ,
lim -7— — = lim '- — — [pour jc = ^o] = 30
La véritable valeur cherchée est donc l'infini.
Sil'on suppose a plus petit que i, cette véritable valeur devient zéro.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. Gl'j
5° Soit la fonction rationnelle (iH)
«.r'«H- hx'n-'i^ -+■ cx"^---^-. . .
A a:" -+- B.r"-i -)- Ca-"-- -h. . . *
On demande sa vérilable valeur pour x = y. {Alg. élc'm., 119).
Il faut encore appliquer la règle (711 ) jusqu'aux dérivées d'ordre convenable, en distinguant trois cas.
1° On a m >> n.
On prendra le rapport des dérivées d'ordre n des deux termes de l'expression. Le dénominateur sera devenu un nombre constant (323), et le numérateur contiendra encore x. La vraie valeur de la fonction, pour X = ra^ sera donc l'infini.
2° On a m < n.
On prcndid le rapport des dérivées d'ordre ni des deux termes de l'expression. Le numérateur sera devenu un nombre constant, et le dénominateur contiendra encore x. La vraie valeur de la fonction, pour j7 = 00, sera donc zéro.
3° On a m=: n.
On prendra le rapport des dérivées d'ordre m = n des deux termes de l'expression. Le numérateur sera devenu i .i.'i. . .ma, et le dénominateur sera devenu i .2.3. . ./«A. La vraie valeur de la fonction, pour
jT = oc, sera donc - • A
En résumé, suivant que le degré' du numérateur de la fonction rationnelle sera supérieur, inférieur ou e'gcd au degré du dénominateur, la vraie valeur de la fonction, pour j; = oc, sera l'infiid, ze'ro ou le rapport des coefficients des premiers termes du numérateur et du dénominateur ordonnés suivant les puissances décroissantes de la variable.
Autres symboles d'indétermination.
713. Les autres symboles d'indétermination {Alg. élém., 118) peuvent, en général, se ramener aux précédents. C'est ce que nous allons montrer.
