Soit l'expression
y = xlx.
On demande la véritable valeur de la jonction pour x = o.
On a alors
Nous écrirons donc (714)
j=o(— ce).
et la fonction, miso sous celte forme, devient "- pour x—o. Par
suite (711 ),
lim j = lini
2° Soit l'expression
= lim
[pour x = o]= lim(— x) = o
y = cotj:
On demande la véritable valeur de la fonetion pour x = o. On a alors ( Trigon., 29)
j = oo
On écrira donc (71o)
I X — tan2;.r
I X X tang x
colx
et la fonction, mise sous cette forme, devient - pour x — o. Par suite (711)
X — tans-r
lim >' = lim : ^^-^ = lim
cos^
tans
XH
= lim
COS^JC COS- X — I
sinj7Cosx -H X
[pour X = o]= -■
Comme la limite de j- se présente encore sous la forme -, il faut passer
aux dérivées du deuxième ordre, et l'on a
,. ,. cos^j; — I ,. — 2sin.rc0SJ: ,
limr = lim —. — - — - — = lim — :; ^ pour j: = o | = o.
sinu; cosj; -f- a: cos-x — sui^-r-f-i "-"^ -■
3° Soit l'expression
On demande la véritable valeur de la fonction pour x = (x>. On a alors
et Ton peut écrire
Pour .r = co, la fraction — se présente sous la forme — ? et l'on a (711) e^ co
lim^ =]im^[pour^ = ao]=o.
11 en résultée 3 i3)
Jimj = lime'^lim [ -\ [pour x = ca] — lirne^ ^^ = co.
4° Soit l'expression
On demande la véritable valeur de la fonction pçur x = o.
On a alors
7 = oO.
Nous prendrons donc (71G) les logaritlimes népériens des deux membres de l'égalité (i), et il viendra
Ij = xlx.
^lais, pour x = o, on a, d'après le premier exemple traité (i°),
hmxlx = o.
On a donc aussi
lim Ij = o,
c'est-à-dire, pour ^ = o,
limj = i, comme au n° 513.
5° Soit l'expression
On demande la véritable valeur de la fonction pour x = co.
On a alors
y — xo.
6?-2 ALgLbRE SUPÉIIIECRK.
Nous prendrons donc (716) les logarithmes des deux membres de l'cgalilé (i), et il viendra
losr = -\o3x.
Pour X = X, logj se présente sous la forme — • On peut donc poser (^711, 58o)
lo°'.r lof'C
lim logj = lim -^^^ =lim -^-— [pour x — x] = o.
On a, par conséquent, pour x = x.
Y\mr = I,
comme au n° 512.
\o^ X On voit, en même temps, que la vraie valeur de la fonction — ^^- pour
X = X. est égale à zéro, comme on Ta déjà trouvé au n° 311.
6° Soit r expression
On demande la 'véritable valeur de la fonction pour j: = o. Pour or = o, la fonction devient
mais on peut l'écrire
j (l) j' = COS''.r.
et, pour x = G, la fonction se présente alors sous la forme
En prenant les logarithmes népériens des deux membres de l'égalité (i) (716). on a
/)• = ^- 1 cosx.
et la question est ramenée à trouver la limite de Ij^onrx = o. Comme on trouve, pour cette valeur de x,
Icosx G
on a (711)
,. /cosx ,. COS.z- r 1
hm ^— = liin [pourx=o]
,. r sin.r I T r T I
= hm pour x — o\=
Si la limite de ly, pour j: = o, est , on a
limj = e 2 = ,
Cas particuliers.
718. Il peut arriver que le rapport des dérivées se présente toujours sous forme indéterminée, à quelque ordre de dérivation qu'on parvienne, et que la règle ordinaire (711) demeure, par conséquent, impuissante. C'est ce qui aura lieu, notamment, lorsqu'il s'agira d'un rapport de radicaux.
Soit, par exemple, la fonction
ini
dont on veut trouver la véritable valeur pour xz=a. La fonction se présente alors sous la forme -•
3n a donc (711)
, . V^^ — « I • ^ "v/(-2? — a)'"-* y = lim J = lim "^
2 mx \J{x — a)'"-* o
et, en continuant d'appliquer la règle habituelle (711), il est éviden!: rt'i'on trouvera toujours le même symbole d'indéternainatior^ jç-u-jque les radicaux ne disparaîtront pas.
Mai?, «■i r?^ cherche d'abord à simplifier l'expression de la fonction en la mettant sous la forme
on voit immédiatement que la limite de / est zéro ou l'infini, suivant que p est plus grand ou plus petit que m.
719. Certaines fondions deviennent indéterminées d'une manière complète, pour des valeurs spéciales de la variable, de sorte que la règle de l'Hospiial (711) est encore en défaut si l'on parvient, en l'appliquant successivement, à une fonction de cette nature.
Il faut alors avoir recours aux artifices que peut suggérer l'habitude du calcul.
Soit, par exemple, la fonction
, , X -\- cos^
Pour ^ = co, elle se présente sous la forme — » bien qu'on
ne puisse assigner alors aucune valeur à cosj; et à sinj?, qui demeurent, évidemment, complètement indéterminés. Tout ce que l'on sait, c'est que, pour .z?:=oo, cos^ et %\x\x restent toujours compris entre — i et h- i.
Si Ton applique la règle (711) à l'égalité (i), il vient
,. ,. ^ + cos^ ,. I — sinx r
limr:=lim ; ^ lim [pour .•r =; ce],
•^ x — sin.2? I — cosx
et, d'après ce que l'on vient de dire, on se trouve en face
d'un rapport absolument indéterminé, sans que ce rapport se
présente sous la forme - ou — •
Il faut, dans ce cas, reprendre directement l'expression (i) et la traiter par le procédé élémentaire, en divisant son numérateur et son dénominateur par jl, avant de faire a^ = co {Alg. élém., 119). On a ainsi
et, comme sin,r et cosa; ne peuvent pas surpasser t en valeur absolue, on trouve immédiatement, en faisant ai= ce,
cos-a;
limj(ar==c; =!•
ALGÈBUE SUPÉRIEURE. 620
Fonctions implicites.
