CHAPITRE XV

THÉORIE DES MAXIMUMS ET DES MINIMUMS (').

Croissance ou décroissance d'une fonction d'une seule variable.

72'2. Nous commencerons par rappeler l'expression qui nous a conduit à la définition de la différentielle d'une fonction y=zf{x).

Cette expression est (oio)

Supposons que, pour une valeur donnée de x, f'{x) ait une valeur finie et bien déterminée, différente de zéro.

Si l'on fait alors tendre A^ vers zéro en le prenant pour infiniment petit principal, a tendra aussi vers zéro, et le produit y.\x disparaîtra devant f'{x)\x comme infiniment petit d'ordre supérieur (521, 2°). Il en résulte que \y aura le signe du produit f'{x)Ax ou le signe de /'{x), si l'on convient de prendre V accroissement ^x positif.

Par suite, si la dérivée /'(^) est positive, l'accroissement Ar est aussi positif, c'est-à-dire que la fonction va en croissant. Si la dérivée /'(>r) est négative, l'accroissement Ay est aussi négatif, c'est-à-dire que la fonction va en décroissant.

En général, une fonction y =:f{x) croit ou décroit, à partir

(') D'après le Dictionnaire de l'Académie, les mots maximum et minimum sont des substantifs masculins. Nous croj'ons qu'il ne faut pas les décliner comme en latin, et qu'on doit les employer de la même manière que les mots pensum, factum, factotum, etc. Nous ne dirons donc pas des maxima et des m.inima, bien que ces locutions aient été souvent adoptées par d'illustres auteurs, que nous sommes loin d'ailleurs de critiquer.

d'une valeur déterminée de x, suàant que sa dérà'ée est, pour cette même valeur de X, positive ou négative. La réciproque est vraie {Géom., iO).

Si/'(^) s'annulait pour la valeur choisie de x, l'égalité (1) deviendrait A j = aAa\ L'accroissement de la fonction se réduirait donc à un infuiimenl petit d'ordre supérieur et, sauf cet infiniment petit, on pourrait regarder la fonction comme stationnaire dans un intervalle infiniment petit comprenant la valeur considérée de x.

723. L'interprétation géométrique de la dérivée (535) concorde avec ce qui précède.

Si l'on construit la courbe représentative de la fonction y -.=/{x) {J'ig. 5), l'ordonnée/ croît évidemment, en général, à partir d'une valeur de x, pour laquelle on a/'(a-) > o; celte ordonnée décroît, au contraire, si l'on a f{x)<io. Si l'on a /'(jt) =0, la tangente à la courbe au point considéré est parallèle à l'axe des x, et l'on peut regarder l'ordonnée y comme stationnaire dans un inlervalle infiniment petit.

72i. Si la fonction yz^f{x) admet dans un intervalle {X(i, X) une dérivée f'{x) et que, dans cet intervalle, cette dérivée ne soit ni constamment nulle pour les valeurs de x comprises dans un certain intervalle renfermé dans le premier, ni négative, la fonction est constamment croissante dans l'intervalle {xq, X).

En désignant par x^ une certaine valeur de x comprise dans l'intervalle (^0, X) et par x,,,, Xp, deux valeurs quelconques de X appartenant au même intervalle et comprenant d^i, on a, en effet (63i),

La quantité /'(^i) étant, par hypothèse, positive ou nulle sans changer de signe, on a, en supposant Xp^ Xm,

f{x,„)<f{xp).

Mais, dans l'intervalle (x,,,, Xp), la fonction /(a;) ne peut être constante, puisque /'(j?) n'est pas constamment nulle. Il existe donc une valeur x„ comprise entre x„i et Xp, telle que /(>r„) diffère au moins de lune des quantités /(^;„) et

f{jc,,). Par suite, on a, en même temps et nécessairement

D'ailleurs, si f{x„) ^=/{x,n), il diffère de f{Xf,), et si J{a;„)=: f{Xp), il diffère de/(*„,). On a donc forcément

et la fonction /(;r) est constamment croissante dans l'inlervalle (^0? X).

On démontrera de même que, si la fonction y=f{a:) admet dans un intervalle (Xq, X) une dérivée f {x), qui ne soit ni constamment nulle pour les valeurs de x comprises dans un certain intervalle renfermé dans le premier, ni positive, la fonction est constamment décroissante dans l'intervalle (^0, X).

Maximums et minimums des fonctions d'une seule variable.

725. La question des maximums et des minimums se pose nécessairement pour les fonctions finies et continues, soumises à des oscillations limitées (io3, 1-58).

Nous avons déjà défini {Algèbre élémentaire, 283) ce qu'on doit entendre par le maximum et le minimum d'une grandeur variable.

Lorsqu'une grandeur variable, après avoir augmenté d'une manière continue dans un certain intervalle, diminue ensuite de la même manière, elle atteint nécessairement une valeur plus grande que celles qui précèdent et qui suivent immédiatement, c'est-à-dire qu'elle passe par un maximum.

Lorsque la grandeur variable considérée, après avoir diminué au contraire d'une manière continue dans un certain intervalle, augmente ensuite de la même manière, elle atteint nécessairement une vviXduv plus petite (\yie celles qui précèdent et qui suivent immédiatement, c'est-à-dire qu'elle passe par un minimum.

D'après cela, soient /=/(.r) une fonction de la vaiiableo^ rt Xa une valeur particulière de x. Désignons par h une quantité positive, d'ailleurs aussi petite que l'on voudra et pouvant varier de o à C.

C3o ALGÈBRE SUPÉRIEUUE.

Si l'on a, constamment et à la fois,

/{^o)>/(^o— /O et f{x^)>f{xo+ h),

pendant que h parcourt l'intervalle (o, C) ou que x parcourt l'intervalle (.Xq — C, x^-^-C), la fonction r atteint un maximum quand la variable x passe par la valeur ^o> et /{xq) est un maximum de r.

Si l'on a, au contraire, constamment et à la fois,

f{x,)<f{x, — h) et f{xo)<f{x,-i-h),

dans les mêmes circonstances, la fonction r alleint un minimum quand la variable x passe par la valeur x^, q\J{x^) est un Tninim.um de y.

726. Une fonction peut évidemment présenter plusieurs maximums et plusieurs minimums qui devront, d'après ce que l'on vient de dire (725), se succéder alternativemeni. Il en résulte qu'un maximum peut êlre moindre qu'un minimum qui ne le précède ni ne le suit immédiatement.

Quand on fait abstraction de leurs signes, un maximum négatif devient un minimum absolu, et un minimum négatif devient au coniiaire un maximum absolu.

FiîT. 12.

hdifig. 12, qui est censée représenter graphiquement la fonction r=/( a;) et où les maximums correspondent à la lettre M et les minimums à la lettre m, rend ces remarques évidentes, ainsi que celles faites aux n"* 722, 72b, 72i, 725.

727. Lorsque l'on fait croître x dans un certain intervalle, la fonction j=/(j:) croît continuellement si sa dérivée/'(^)

reste constamment positive; elle décroît conliiiueliement, si sa dérivée /'(^) reste constamment négative (721),

Par conséquent, la fonction y^f{x) ne peut atteindre aucun maximum ni aucun minimum, tant que, x croissant, la dérivée f'{x) conserve le même signe.

Mais, si cette dérivée f\x) change de signe lorsque x atteint et franchit une certaine valeur Xq, la fonction f=/{x) passe nécessairement par un maximum ou par un minimum

Si f'{x) passe ainsi du positif au négatif, la fonction v=^f[x) diminue après avoir augmenté, et fix^) est un maximum de la fonction.

%\ f\x) passe, au contraire, du négatif au positif , la fonction r=/(^) augmente après avoir diminué, et/(xo) est un minimum de la fonction.

D'ailleurs, /'(^) ne peutchanger de signe qW en s' annulant, si cette fonction dérivée reste finie et continue, ou bien encore en devenant discontinue ou infinie ( Algèbre élémentaire, 318 et suivanls.)

On arrive donc à ce premier théorème : Les valeurs de x qui conduisent aux maximums et aux niinimums de la fonction y r^f{x ) doivent être cherchées uniquement parmi celles qui annulent la dérivée f {x) ou qui la rendent discontinue ou infinie, es la faisant cilx^ngiîr de signe.

728. Le plus souvent, les maximums et les minimums de la fonction répondent aux valeurs de x, pour lesquelles /'(.a;) change de signe en s'annulant et en restant finie et continue, c'est-à-dire aux racines réelles de l'équation dérivée

On distingue alors les maximums et les minimums à l'aide du caractère déjà indiqué (727).

La fonction atteint un maximum lorsqu'elle diminue après avoir augmenté, c'est-à-dire lorsque /'(a;) passe du positif au négatif; la fonction atteint un minimum lorsqu'elle augmente après avoir diminué, c'est-à-dire lorsque/'(>r) passe du négatif au positif.

Mais, si/'(^) passe du positif au négatif, /'(^) décroît, et sa dérivée fi-r) est négative; sif'{x) passe du négatif au positif, /'(x) croît, et sa dérivée/"(j7) est positive (724).

A^LGEBRE SUPERIELIIE.

On peut donc dire encore que le double caractère du maximum, est

/'{x)=:o, en même temps que /''(>r)<o,

et que le double caractère du minimum est

f'{x)^o, en même temps que f''{x)'>o.

La première règle (727) est souvent plus simple à appliquer.

729. L'emploi de la série de Taylor, lorsqu'il est permis, Tait retrouver les mêmes résultats, et conduit ensuite à une généralisation nécessaire.

Si l'on se borne aux deux premiers termes de la série (680), on peut écrire, pour la valeur spéciale x=zxq,

(i) F(.ro+ /O - F(^o) = h ?'{x,-\-Bh).

5 étant compris entre o et i et h étant supposé infiniment petit, ¥' {xq-^ Bh) diffère infiniment peu de F'(^o). en raison de la continuité supposée de la fonction dérivée W {x). Si F'(a^o) n'est pas nulle, Y'{xq-\- Qh) a donc le même signe que ^'{^o)y quel que soit le signe de h. Il en résulte que le second membre de la relation (i) et, par suite, son premier membre, change de signe en même temps que h. Si F'(^o) a une valeur positive, on a alors

F(^o-/z)<F(^o)<F(^o-H/0; et, si F'(jco) a une valeur négative, on a

La fonction Y{x) est, par conséquent, constamment croissante ou décroissante entre x^ — h et x^-h h, et x^^Xç^ne peut correspondre à aucun maximum ni à aucun minimum.

Pour que x^^Xq puisse correspondre à un maximum ou à un minimum de la fonction, il faut qu'on ait, comme précédemment,

F(.ro) = o.

Mais, dans cette hypothèse, la série de Taylor, réduite à ses trois premiers termes, devient

(2) F(ro+/0-F(^o) = -;^ F"(jCo4-5/0-!

Et l'on voit, par le même raisonnement, que, 5« P(^o) f^'^^t pas nulle, le second membre de la relation (2) et, par suite, son premier membre, ne cbange plus de signe en môme temps que h et conserve, dans l'intervalle considéré, le signe

deF"(^o).

Si la dérivée seconde F"(^o) est négative, F(^o) surpasse à la fois Y{xç^—h) et Y{Xf^-\-h), de sorte que F(^o) est un maximum de la fonction.

Si la dérivée seconde F"(^o) Q?>V positive, Y{xq) est moindre à la fois que ¥{xo— h) et que F(^o+ ^0> ^^ sorte que F(j:o) est un minimum de la fonction.

On retombe ainsi sur les résultats des n"' 727 et 728. On voit, de plus, que, si l'on avait, en même temps, F'(^o)^^o el F"(^o) = o> on ne pourrait rien décider. Il faut donc compléter le premier théorème obtenu, dô la manière suivante.

730. Considérons la série de Tajdor, sans limiter le nombre des termes du second membre. Nous aurons (676, 677), toujours pour X = Xq,

I F(^o+ h) —¥{xo) (!) ) =7F'(^o)+^F"(^o)H-7^F'"(^o)+...

+ — 5 — F"(^o)+ — /\ ^ V"^^ixo + e/i).

Supposons que la valeur x = Xq annule les n premières dérivées de F{x), sans annuler la (n -+- 1)'«'"«. La formule (i) se réduira à

Puisque F"'+^{xo) n'est pas nul, F'*^*(^o+ ^^0» qui en diffère infiniment peu en raison de la continuité supposée de F"^'(x) dans l'intervalle étudié, sera de même signe que F"+*(^o), quel que soit le signe de h.

Cela posé, si n + i est impair, A"+' changera de signe en même temps que A, et il en sera de même du premier membre de la relation (2), de sorte que, pour xz=X(„ F{x) n'atteindra aucun maximum ni aucun minimum.

Si, au contraire, «4-1 est pair, A'*^' ne changera pas de

signe en même temps que h et demeurera positif. Le premier membre de la relation (2) conservera donc le signe de F'*"^'(^o)> que h soil négatii' ou positif. Et, par conséquent, F(^o) sera un maximum de Y {x) si l'on a F""^'(^o) <o et, un minimum, si l'on a F''^'(^o) > o.

Nous résumerons ce qui précède dans l'énoncé suivant : En général, si une valeur Xq de la variable x annule les n premières dérivées de la fonction F(j?) sans annuler la (rt + i)'^'"*, cette valeur x^, ne fait atteindre à la fonction ni maximum ni minimum loisque n-{-i est un nombre impair, tandis que, sin-î-i est un nombre pair, F(.ro) est un maximum ou un minimum de Y(^x), suivant que F'''^*(^o) ^ une valeur négative ou positive.

Ainsi, il faut que la première dérivée qui ne s'annule pas soit à' ordre pair pour qu'il y ait maximum ou minimum.

731. 11 n'est pas inutile de remarquer que la fonction proposée étant j = F(x), on peut mettre la série de Taylor sous la forme (681)

^{x+ h) — ^{x) — dy ^ ~ d'y + x d^y -+-...