I. C /ter cher le maximum de la jonction
On a ici
y (a;)= a — -ix.
Celte dérivée s'annule pour x= -• Elle est positive pour une valeur
ALGÈBUK SUPÉRIEURE. 635
de X un peu plus petite et, négalive, pour une valeur de .r un peu plus grande. Elle passe donc du positif au négatif, quand x croit en traversant la valeur -• Cette valeur - répond donc à un maximum de/(jr).
et ce maximum, / ( - 1 ? est égal à — (^Ig- éléni., 28o).
II. a étant une constante positive donnée et p et q étant des entiers positijs, chercher les maximums et les minimum? de la fonction
J=f(x)=xP{a — x)l.
La dérivée de la fonction est
f\x) — pxP''^{a — x)'J— qxP{a — x)'/-'^.
En l'égalant à zéro et en mettant xP~^{a — j:)?-' en facteur, on obtient l'équation
xP-^{a — x)i-'^[pa—(p -i-q)x] = o.
Elle se partage immédiatement en trois autres
X = o, a — a: = o, pa — {p-+-q)x = o,
qui donnent
pa qa X ^ o, X = «, j: = — ^ et a — j; = — •
Les deux valeurs ^ = o et a; = a répondent kf{x)= o.
Pour une valeur de x un peu moindre que o, c'est-à-dire négative, f'(x) a une valeur négative si /j > i est pair, et cette fonction dérivée a une valeur positive pour une valeur de x un peu plus grande que o, c'est-à-dire positive. La dérivée passe ainsi du négatif au positif, ce qui est le caractère d'un minimum.
En donnant à x une valeur un peu moindre que a, puis une valeur un peu plus grande, on arrive à un résultat analogue, si 9 > i est pair.
f{x) passe donc par un minimum pour x = o, quand/) est pair et, pour X ^ a, quand q est pair, et ce minimum est o.
Enfin, pour une valeur de x un peu moindre que — — ? la dérivée
f'{x) est positive, et elle devient négative pour une valeur de ,r un peu
plus grande que — Elle passe ainsi du positif au négatif, ce qui
est le caractère d'un maximum.
fix) passe donc par un maximum pour
X = —^ et pour a — x= — ^ — .
Les doux facteurs xQia — x sont alors proportionnels à leurs exposants respectifs p el g et, pour obtenir leurs valeurs, il suffit de partager leur somme a proportionnellement à ces exposants {^Ig. élém., 297). Le maximum de F(x) est alors
pPq^i
IIL Chercher le maximum et le minimum de la fonction rationnelle {Alg. élém., 31o et suiv.).
, . f,. rt.r2 -+- bx -I- c
^ ' j j \ j rt\r-+ b X -^ c
Nous aurons, pour la dérivée de la fonction, en simplifiant et en ordonnant,
, , /-,/ s {fiV — ba')x'-^ liac' — ca')x-ir{bc' — cb') (^^ ^^")= {r^x^-^iyx+<^Y •
Les valeurs de x qui annulent f'(x) annulent aussi le numérateur de l'expression (2). Nous poserons donc
(3) {ab' — ba')x- -+- i{ac' — ca')x -\-{bc' — ch')= o.
Il faut, bien entendu, que les racines de cette équation n'annulent pas en même temps le dénoiiiinateur de l'expression (3).
Nous devons considérer en outre les valeurs de j: qui rendent ce dénominateur infini, sans faire prendre une valeur analogue au numérateur.
Or, pour j: = ±00, f'{x) se présente sous la forme — • .Mais cette in-
détermination répond en réalité à la valeur zéro, puisque le degré du numérateur de l'expression (2) est inférieur à celui du dénominateur (712, 5°). Nous mettrons donc à part celte valeur particulière j; = ±:o qui annule /'(.r) sans correspondre à un maximum ou à un minimum.
Revenons à l'équation (3). Pi Ton désigne par xi et x-i les racines de cette équation, elles feront connaître respectivement un maximum et un minimum de/(.r), qui auront pour expressions /(^i) Gifi^x-^).
Pour décider entre le maximum et le minimum, il restera à déterminer les signes pris par /'(a;) pour des valeurs de x un peu plus petites et un peu plus grandes que xi et que .r,.
Cette méthode est, au fond, identique à la méthode élémentaire. Nous allons l'appliquer à l'exemple numérique déjà traité {^Ig. éléni.^ 320), c'est-à-dire à la fonction
x^- — x-\-i Nous en déduirons
(a-2-i- x-i- 1)- On voit que f'{x) s'annule pour .r = — 2 el pour x = o.
ALGEBRE SUPERIEURE.
Lorsque x alleint, en croissant depuis — co, la valeur — 2 et la dépasse. f'{x), positive jusque-là, devient négative, x —— 1 répond donc
à un maximum ùe f{x), qui est/( — 2)= -•
Lorsque x atteint, en croissant toujours, la valeur o et la dépasse. f'ix), négative depuis x = — 2, redevient positive, x = o répond donc à un minimum de f{x). qui est/(o) = — i.
Pour montrer combien l'emploi de la dérivée simplifie les discussions de cette espèce, construisons la courbe représentative de la fonction {fg. i3).
Pour x = =p«3, on a évidemment (712, 5°) j = i. La droite K'il menée parallèlement à l'axe des x, a la distance OB = i, est donc une asymptote de la courbe.
Pour des valeurs négatives de x, très grandes en valeur absolue et
Fijj. i3.
jusqu'à X = — 2, la dérivée f'(x) est positive. La fonction jr va donc en croissant constamment (72i), et la courbe commence par s'élever audessus de son asymptote. Elle atteint ainsi son point maximum M, qui
répond a .r = OA =— 2 et dont l'ordonnée MA = -. Au delà, la dérivée /'(-) devient négative et le demeure tant que x reste négative. y diminue donc, et la courbe descend vers l'axe des x. Comme on a j- = I pour
c'est-à-dire pour j: = OC = — i, elle coupe sou asymptote au point correspondant D. Elle la rencontre aussi à l'infini, puisque, le coefficient du terme en x"^ dans l'équation précédente étant égal à zéro, cette équation admet encore pour racine x = ±x {Alg. éle'm., 241). Comme x=±x> rend f'(x) = o, l'asymptote H'H est, en réalité, une tangente à la courbe à l'infini et dans les deux sens. La courbe continue à descendre au delà du point D, jusqu'à ca
638 ALGÈBRE SUPÉniEUTlE.
qu'elle parvienne à son point minimum m, qui répond à .r = o et à y = Om = — I.
Après ce point minimum, x devennnt positive, la dérivée /'(.r) redevient elle-même positive, et la fonction recommence à croître indéfiniment, puisque sa dérivée ne change plus de signe.
La courbe, en descendant après son point mnximum et en remontant après son point minimum, coupe nécessairement deux fois l'axe des x.
On a, en effet, pour j = o,
.r- — .r — I =0 ou .r —
Les points où la courbe traverse l'axe des .r ont ainsi pour abscisses j:=— 01= ^^^-^ = — 0,618 et .r = 0J= -^— ^ =T,6i8.
L'ordonnée y redevient positive à partir du point .T; mais la courbe. en montant, ne pouvant plus rencontrer son asymptote qu'à l'infini, reste constamment au-dessous en s'en rapprochant indéfiniment dans le sens H.
733. IV. Chercher le nombre x dont la racine x est un maximum.
La fonction dont il faut chercher le maximum est
y =z \fx = .r-*'.
Mais les logarithmes croissant en même temps que les nombres quand la base est plus grande que i, il revient au même de chercher le maximum de la fonction
f(x) = lx''=:-lx.
On a alors
Cette dérivée s'annule pour Ix = i ou pour 57 = e. En remarquant que, si l'on passe, pour x, d'une valeur plus petite que e à une valeur plus grande que e,f'{x) passe du positif
au négatif, on voit que x=:e répond à un maximum.
Par suite, la fonction proposée x"" a pour maximum e".
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 63q
734. V. Problème de Viviaxi. — On donne les deux parallèles AB, CD, et la sécante BC. Mener par le point déterminé D la sécante DXY telle, que la somme des triangles BXY, CXD, soit un minimum {fis. i4).
Nous poserons CD r= a, CB = b, CX = x, et l'angle BCD := a.
L'aire du triangle CXD a pour expression {Trigon., 153)
CXD := -ax sin y..
L'aire du triangle BXY a de même pour expression
BXY=i- (6 — ^)BYsina.
La similitude de ces deux triangles donne d'ailleurs BY BX ,, , „^ h-x
Il en résulte
|JXY= -a sina.
La fonction dont on a à chercher le minimum est donc
{b — xY--
sina
ou, en laissant de coté le facteur constant - a sin a,
{b-xy
En égalant à zéro la dérivée /'(.r), on trouve
nib — x)x -\- (b — x)- I ; — ^ =z G ou 2J?- — o- = o.
On en déduit
ALGEBRE SUPEraEURE.
b\fl
Celle valeur, qui est représentée par la moitié de la diagonale du carré construit sur b, répond bien à un minimum ; car, pour une valeur un peu plus petite de x, la dérivée f {x) est négative, et, pour une valeur un peu plus grande, elle devient positive.
Ce minimum a, d'ailleurs, pour expression
ab(\/2 — i) sina.
735. VI. Étant donne un tronc d'arbre de longueur suffisante, on demande de le transformer en poutre rectangulaire présentant le maximum de résistance à la flexion
Supposons que le cercle 0 représente la section de l'arbre à l'état primitif. Soient b la base et h la hauteur de la section rectangulaire qu'on veut obtenir en enlevant les dosses. D'après la théorie de la flexion plane des solides, on sait que la résistance de la poutre est proportionnelle au produit bh-. C'est donc ce produit qu'on doit renilre maximum. En appelant D le diamètre de la section circulaire de l'arbre, on a
et le produit bh- dévient
ou
ALGÉURE SUPÉRIEURE. 64 I
En preniinl la dérivée de celte expression par rapport à h et en l'égalant à o, on trouve évidemment
1)-— o- — ih-^zo ou 0-=-^«
Il en résulte
li-=-- —^ et 77, = ou
Ce rapport s'éloigne très peu, comme on le voit, des rap
norls nralinues - et -^ habituellement établis entre la base h
et la hauteur k des poutres rectangulaires placées 5«/- champ. La construction géométrique qui permet de tracer immédiatement sur la section circulaire les traits de scie qui doivent transformer l'arbre en poutre rectangulaire de résistance maximum, est très simple. On mène {fig. i5) le côté AB du carré inscrit, on le reporte par un arc de cercle sur la tangente AB', et l'on joint le point B' obtenu au centre 0. La perpendiculaire CI) abaissée, du point de rencontre C
de B'O avec la circonférence, sur le rayon OA, représente et 01) représente • On a, en elTet,
OD 0A OA ^ \^ CD ^ AB' ~ 0A^2 " s/' 2 ^ 2"'
73G. VII. Problème de Fermai. — On suppose deux milieux phvsifjues dijférents séparés par un plan indéfini 1' et, dans chacun de ces milieux, un point A et un point B. Un mobile, partant du point A et aboutissant au point B, se meut dans le premier milieu avec urie vitesse uniforme a et, dans le second, avec une vitesse uniforme ç. On demande de déterminer le chemin (jue doit suivre le mobile pour se rendre du point A au point B dans un temps qui soit un minimum {fig. i6).
On sait que, dans un mouvement uniforme, l'espace parcouru dans un temps donné est égal à la vitesse mullii)liée par le temps.
Dfc C. — Cours. 111. 4'
Il est évident, d'après cela, que, dans chaque milieu, le chemin parcouru, doit être recliligne, puisque, les vitesses correspondantes étant constantes, les temps employés sont proportionnels aux chemins décrits. Le chemin total qu'on veut découvrir est donc une ligne brisée.
Fig. iG.
11 est facile de voir que celte ligne brisée est nécessairement dans le plan ACDD déterminé par les perpendiculaires AC et BD au plan P.
En elTet, admettons f|ue cette ligne brisée soit la ligne AEli non située dans le plan ACBD, et abaissons du point E où elle rencontre le plan P la pei'pemliculaire EF sur Cl). Si l'on joint le point F aux points A et B, les triangles AFI:^, BFE, rectangles en F, montrent que le mobile parcouria le chemin AFB en moins de temps que le chemin AEB.
Supposons donc que la ligne brisée décrite par le mobile dans le temps cherché soit la ligne brisée x\HB située dans le plan ACBD.
Nous poserons AC = a, BD = b, CD = c, Cil = x. Nous aurons, par suite,
Ail '=\/a'+x-,
et le temps employé à parcourir AU sera exprimé par
De même, nous aurons
i\ii = \lb-^{c — x) ,
et le temps employé à parcourir IIB sera exprimé par
Sj'b- H- ( c — JCJ^
La fonction dont on doit trouver le minimum est donc
En égalant à zéro la dérivée de celte fonction et en simplifiant, on a évidemment
sjci- -t- x- v\ b--r- {c — .2? )-
Pour résoudre celle équation, il faut la mettre sous la forme
u\ja'-^x' v\Jb- + ^^c — xf-
et élever ses deu\ membres au carré. En chassant les dénominateurs, on obtient ensuite l'équation complète du quatrième degré
+ [(«- -t- c^ ) ;/ - — ( i'- + c- ) ('■- ] x"' — 2 ca- u^ X -T- a- c- u'- = o,
([ui est l'équation du problème.
Au lieu de chercher à la résoudre, menons par le point II la normale NN' au plan P. Désignons par i l'angle d'incidence AHN et, par /•, l'angle de réfraction BIIN'. La tlgure donne alors
smLAll =sin< = -r-rr =
AU - ^-rçH/
. ^^„ . DH. c — x
sinDCL ^ sin/- -= ^ttt =
BH y'^2 4 (c — x;-'
L'équation (2) revient donc à ,„, sin< sin/" , sin« a
(o) =: ■ ou a -. =: -
li V snw i-
C't telle est la condition du minimum.
il s'agit bien d'un minimum; car, en se reportant à l'éqiia-
b:|4 ALGEBRE SUPERIEUKE.
lion (i), on voit immédiatement que, pour une valeur de x plus petite que celle qui répond à la condition exprimée par la relation (3), sini diminue en même temps que sin/- augmente, tandis que l'inverse se produit pour une valeur plus grande de x; /'{•£) passe donc du négatif au positif en traversant zéro.
11 peut être intéressant de rapprocher celte solution des lois de la réfraction de la Lumière.
lëaximums et minimums des fonctions implicites d'une seule variable.
