Remarquons que l'on a, d'après l'équation

~df

Il en résulte {luc, si les dérivées partielles -j- et -;- s'an- ^ ' dx c'y

ALGÈBRE SLPÉIUEURE. G/^O

niilnient simultanément pour des valeurs de x el de y satisfaisant à l'équation (i) [737], les équations (2) el (3) se trouveraient à leur tour satisfaites, sans qu'on eût pour cela

-p- = o, et les valeurs correspondantes de a; ne répondraient

plus, en général, à la question.

739. Pour distinguer un maximum d'un minimum, il faut recourir aux dérivées d'ordre supérieur.

En dillerentiant l'équation (2) et en divisant par dx, on trouve (CC7)

(2 bis) ^ 2-^^^ fj\[^ 'if '^^-y Q

dx- dx dy dx dy'^ dx- dy dx- '

X ,. . dv r , , . ,

c est-a-flire, puisque -i- est supposée égale a zéro, dx

,r. à\f df d\v

( * ) -r^. "+" Tt — r^. — °-

dx- dy dx- On en déduit

d'-y dx-

dx- df

d' V Le signe de cette seconde dérivée -~^ pour les valeurs

de .3? et de r qu'on étudie, tranchera la question. Le minimum

lie r répondra à -y-^ > o et le maximum, à y-^ < o [728].

11 est entendu que les quantités . • • et -7-4, équation

dx dy dy-

(2 bisYl 'ic s'annulent pas pour ces mômes valeurs de x el

de j (738).

d-Y Si l'on avait -^^o. il faudrait consulter les dérivées

d'ordre supérieur suivant la règle du n° 730.

7i0. Exemple. — Soit la fonction implicite

dont on demande les maximums et les minimums.

On en déduit (737)

cLt

En combinant les équations (i) et (2) et en éliminant entre elles la fonction 7-, on obtient évidemment

00^ — "iœ^zrz x'^{x^ — 2 ) = O,

c'est-à-dire

ce z=i o et ^ =^ \'2.

Les valeurs correspondantes de y sont

rz=io et 7- r^ y 4.

L'équation (i) donne d'ailleurs

~ z=z ôy- — ôx.

Le premier système de valeurs (j: = o, 7=0), annulant — ; doit être rejeté (738). Quant au second système

qui n annule pas —■> il repond a un maximum ou a un midy

nimum. En formant (739) l'expression

d-y dx- (jx IX

dx- df 3 7- — ox y- — x '

'dy

on voit que la fonction y passe par un maximum pour œ^ \^ et que ce maximum esi \ 4-

711. Passons au cas général, et admettons qu'on ail à considérer m variables oc, y, z-, u, . . ., liées entre elles par les m — I équations

/, {jr,y,:., it, . . .) =0, , /o iJr,y,z, a, . . .) =0,

fm-l (•2",.V, ;, «,...) =0.

Si l'on veut trouver les valeurs maximums el minimums ;le l'une des variables, / par exemple, on prendra l'une quelconque, or, des autres variables comme variable indépendante. La condition d'un maximum ou d'un minimum sera aloi's, dans le cas ordinaire,

D'après cela, en différenlianl les équations (i), en divisant par ctjr el en supprimant tous les termes ou entre -j-y on

aura

^A ^^ ^ ^ili ^ ^ — o

d.r dz dx du dx

df, df. dz dj\, da

( 2 ) / dx dz dx dn dx

flfm-\ , ^/m-I dz df,n^\ du

\ dx dz dx du dx

^ ■• . . . , dz du .

En éliminant les m — 2 quantités -y-, -t-> •••? entre les

dx dx

m — \ équations qui forment le système (2), on arrivera à tiiie relation

entre les ?7i variables considérées; et celle relation, jointe aux m — I éciualions qui forment le système (i), permettra de déterminer les valeurs de x, y, z, u, . . ., qui peuvent répondre à des maximums ou à des minimums dej.

7i2. Si l'on avait à chercher les maximums et les minimums d'une fonction explicite de m — i variables, telle que

ces m — I variables élanl liées par les ?n — 2 équations

f,„^,{x,y,z, u, . ..) = 0, ce cas particulier rentrerait dans le cas général (741).

048 ALGEBRE SEl'ÉP. lELUE.

En effet, on n'aurait qu'à joindre aux m — 2 équations (2) l'équation (i) mise sous la forme

On aurait ainsi, comme dans le cas précédent, m variables i,\x,y,z,u, ..., liées entre elles par in — i équations, avec <:elle unique différence que la variable c dont on vonl chercher les maximums et les minimums ne se trouve que dans une seule des équations considérées.

743. Exemple. — On donne le volume d'un cylindre de révolution, et l'on demande de déterminer ses dimensions de manière que sa surface soit un mi/iimum.

Résoudre cette question, c'est oi)ieiiir praiiquemcnl une capacité donnée sous forme cylindrique, avec la moindre dél)ense de maiière.

On peut distinguer deux cas, suivant que le cylindre est ouvert ou fermé à sa partie supérieure.

I" Le cylindre n'a pas de couvercle.

Nous désignerons par \" le volume donné du cylindre, par S sa surface, par x le rayon de sa base et par y sa bauteui'. Les deux équations du pr(d)lème seront

I iT.xy — T.x- — h ;^ û.

On a ainsi trois variables S, ^, r, liées entre elles par les deux équations (i), et il s'agit de trouver le minimum de S en prenant, pai' exemple, x comme variable indépendante. La contlition du minimum sera alors

Nous différentierons donc les équations (i), nous diviserons ensuite par dx et nous n'écrirons pas les termes contenant -7^ ("41)- 1^ viendra, en supprimant les facteurs com-

imiiis T. et 2~,

,dv .xy -i- X- -f— = G,

•^ dx

ALGÈBRE àUPÉKIEURE. ^' \{)

En éliminant ^ entre les équations (2), on trouve facile-

Cl.JC

ment

( 3 ) ^j ^'2 == o ou ^r — /.

L'équalion (3), jointe aux équations (i), permet de trouver les valeurs de ^, de y et de S, qui répondent au minimum de S. Par suite de l'équation (3), les équations (1) deviennent

■F.X^ — V:= O, OTIuC- — 8 = 0,

Cl Ton en déduit

Pour vérifier qu'il s'agit bien d'un minimum, reprenons les équations (2), en conservant dans la seconde le terme d'abord négligé - ^ ^. et di(Térenlions-les de nouveau, en divisant ensuite par dx. Nous aurons

■ dx dx dx-

dy , 'ly ^/^ll' + , L ^ - o,

dx "^ dx ^ '^ dx' 2 7: dx'

c'est-à-dire

, dv ^d'y ^

dv d'y I ^'S

t/o; dx- 2 7T rfJ7-

En éliminant Vv! entre ces deux équations, on trouve dx-

dv X f/^S

D'après la première des équations (2), on a

dy 2^ ^ dx ~ î:^

G5o ALGEBRE SUPÉRIEURE.

L'équation (5) donne donc

rf- S 2 7T r , ,

ou, d'après l'équalion (3),

Celte valeur étant plus grande que zéro, les résultats précédents répondent bien à un minimum.

Ainsi, la surface du cylindre ouvert est un minimum quand sa hauteur est égale au rayon de sa base.

1" Le cylindre a un couvercle.

Les équations (i) sont ici

2 7T.rV -f- iT.x- — S = G.

En dilTérentiant ces équaiions comme dans le premier cas

d^ . , . , et en supprimant le terme -y- qui doit être nul pour tout

maxinium ou minimum, on a

2xj + .r^^=o,

dy •^ dx

En éliminant -;- entre ces équaiions, on trouve dx

Les équations (i) deviennent donc

i-x"^ — V ^ G, [\T. x""- -{- 1~ x"- — S = o, cl Ton en déduit

En rétablissant dans la seconde des équations (2) le terme

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. G5l

d'abord supprimé -4-> en diiïérenlianl ensuite ces

■2T. djc

d- y équations et en éliminant entre les résultats obtenus -~y

ax-

on trouve finalement

,p, dv X c/-S

dx 1 T. dx'

En remplaçant -7- par sa valeur tirée de la première des

é(]uations (2), on a donc d- S 2 7:

relation qui devient, d'après l'équation (3),

C'est donc encore à un minimum que conduisent los résultats précédents.

Ainsi, la surface du cylindre fermé est un niinimum, quand sa hauteur est égale au diamètre de sa base.

Maximums et minimums des fonctions de plusieurs variables indépendantes.

7H. Supposons une fonction de plusieurs variables indépendantes X, y, z, . . . , (]ue nous rejirésenterons par

\' — ¥ix,y,z, .. .).

Soient Xg, yo, ^0, ■■■, des valeurs particulières de x, y, z, .... Désignons par h, A, /, . . ., des quantités aussi petites qu'on voudra en valeur absolue, et pouvant varier de — C à + <C, en représentant par C une quantité positive aussi petite (]u'on voudra.

Si l'on a constamment

F(^o. yo, =i>, • • •) > F(^'oH- /', Jo+ /'", -0+ ^, • • •),

pendant que les accroissements /i, /.", /, . . ., parcourent l'intervalle {— C, 4- C) OU que x, y, z, . . . , parcourent les inler-

G52 ALGÈBRE SL'l'ÉP. lEURE.

valles (^0— <^) -^0+ ^}> ( J'u— ' ^y .■>'o+ ^)y (-0— C, Za + C), . . . , Ja fonction v atteint un maximum, quand les variables x, y, z, ..., passent par les valeurs spéciales x^, y^, Zq, ,.., cl F{xq, Jo, -0, • • •) est ce maximum de f. Si l'on a, au contraire, constamment

dans les mêmes circonstances, la fonction c alteinl un minimum, quand les variables x, y, z, . . ., passent par les valeurs spéciales Xq, Vo, ^o, • • -, et F(j^o, Vo, -o, • • •) est ce minimum de i\

Il est facile de trouver la condition générale, commune aux maximums el aux minimums, en revenant, comme il suit, aux fonctions d'une seule variable.

Admettons que v ou la fonction F atteigne un maximum ou un minimum pour x:=a, y =^ b, z=zc, ...; on pourra, pour un instant, supposer que y, z, . . ., sont des constantes b, c, . . ., et que x seule varie. La fonction F deviendra une fonction d'une seule variable x; et, puisque, par bypotbèse, elle passe par un maximum ou par un minimum pour x=za,

on devra avoir pour celle valeur i ^ ou -r- nulle, intime ou

discontinue (727). Le plus souvent (728), la dérivée -.—

change de signe, en s'aniiulant et en restant finie et continue.

Le même raisonnement pouvant être répété pour les autres

variables r, ^, . . . , on voit que les valeurs de x, y, z, . . ., qui

rendent v ou la fonction. F un maximum ou un minimum,

doivent être cherchées parmi les valeurs qui rendent les dc-

. ,, dF d¥ dF ,, ■ r ■ T

rivées partielles -r- i -;— ? -r- ■> • • ■ ■> nulles, in finies ou ctiscon- ■' dx dy dz

tinues ou, le plus souvent, parmi celles pour lesquelles ces

dérivées changent de si^'ne en s'annulant et en restant finies

et continues.

7io. Lorsque ces dérivées partielles demeurent continues dans l'intervalle considéré, on peut retrouver le même résultat par la série de Taylor, et s'en servir ensuite pour distinguer entre les maximums et les minimums.

Pour plus de simplicité dans l'écriture, nous supposerons seulement trois variables indépendantes.

ALGEDRE SUPERIKURE.

La série de Taylor peut s'écrire (68G, G87), en n'allant pas au delà des premières puissances des accroissements,

dV . cli' . dF . ,,