A H- -7- A -H ^- / + II
rtj; df dz
Pour des valeurs absolues infiniment petites de h, k, l, le reste R est négligeable devant les termes qui le précèdent, loaies les fois que ces ternies ne sont pas nuls. Or, ces termes, dont l'ensemble détermine alors le signe du second membre el, par suite, du premier membre de la formule, cbangent de signes sans changer de valeurs quand on remplace h, k, l, pai./i^ „ /t-^ /. Il en résulte que le premier membre change lui-même de signe, quand on traverse les valeurs supposées de jc, 7, z, et que ces valeurs ne peuvent répondre à aucun maximum ou minimum.
Pour que la fonction F puisse atteindre un maximum ou un minimum, il faut donc qu'on ait, à la lois,
dF dV dF
Z^=°' dj^""' d^^^'
C'est la conclusion déjà énoncée (744).
Il nous reste à chercher à quels caractères on peut reconnaître un maximum ou un minimum.
Nous considérerons successivement une fonction de deux variables et une fonction de trois variables indépendantes.
74G. Cas d'une fonction de deux variables. — Soit la fonction
En n'allant pas au delà des deuxièmes puissances des accroissements, la série de Taylor peut s'écrire
dF j dF .
— A + — k dx dy
-— h' 4- ■! -. — j- hk + — - kd,v- dx dy d\-
Supposons que x et j reçoivent des valeurs telles, que l'on
ait à la fois
dF dF
dx dy
6o\ ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Ces valeui's pourront correspondre alors à un maximum ou à un minimum de la fonction F.
Pour décider, nous remarquerons que le signe du second membre de la formule et, par suite, de son premier membre, sera, dans l'bypolhèse admise, le même que celui du trinôme du second degré
Il faut donc, pour qu'il y ait maximum, que la valeur de ce trinôme reste constamment négative, quels que soient les signes et les valeurs absolues des accroissements h et k, pourvu que ces valeuis soient suffisamment petites; pour qu'il y ait minimum, il faut que la valeur de ce trinôme reste, dans les mêmes conditions, constamment /?05i7tVe (7ii).
Pour n'avoir qu'une variable, nous poserons k=zoh, en désignant par p le rapport algébrique, d'ailleurs arbitraire, établi entre k et h. Le trinôme (i) pourra alors s'écrire, en faisant abstraction du facteur h^ toujours positif et en renversant l'ordre des termes,
dn< ^ r/2F dH'
c//^ ' dxdy' djc-
Or ce trinôme, du second degré par rapport à p, n'aura (jue des valeurs négatives, si le coelficient de son premier terme est négatif et si, lorsqu'on l'égale lui-même à zéro, les racines de l'équation correspondante sont imaginaires {Alg. élém., 252).
Les conditions du maximum sont donc {Alg. élém., 237)
d-V dv-
\dx dy
cPF d^V dy- dx-
Le même trinôme (2) n'aura que des valeurs positives, si le coefficient de son premier terme est positif et si, lorsqu'on l'égale lui-même à zéro, les racines de l'équation correspondante sont encore imaginaires.
Les conditions du minimum sont donc
dy- [dx dy \ dy- dx-
On voit aisément que, dans les deux hypothèses, — ^-r et
dn< , . , . .
-j—, ont necessan"ement le même siqne.
dx ^
7i7. Si les trois dérivées partielles du deuxième ordre
dy? d'-F d^F dx- dx dy dy-
devenaient nulles en même temps que celles du premier ordre, pour les valeurs attribuées à a? et à /, les raisonnements précédents (7io) montrent qu'il n'y aurait ni maximum ni minimum de la fonction, si les termes du troisième ordre subsistaient.
Si les qualredérivées partielles du troisième ordre
dx^ '
dx- dy
dx dy-
dy
s'annulaient, il faudrait considérer les dérivées partielles du quatrième ordre, et il y aurait maximum ou minimum, si l'ensemble des termes correspondants conservait un signe invariable.
En poursuivant, on formulera aisément une règle analogue à celle qui a été donnée pour les fonctions d'une seule variable (730). Nous ne nous y arrêterons pas.
7i8. Cas d'uxe fonctiox de trois variables. — Soit la fonction
Supposons que x, y, z, reçoivent des valeurs telles, que l'on ait à la fois
dF dF dF
dx dy dz
Ces valeurs pourront correspondre alors à un maximum ou à un minimum de la fonction F.
En n'allant pas au delà des termes du deuxième ordre et dans l'hypothèse admise, la séi'ie de ïaylor pourra s'écrire.
en effecluant (GS7), ¥{x -i- h, y -f- /.-, - -4- l) —V{œ, Y, z)
d'-V ,, d'F ,, d.i:' dy-
dz-
lik 4- 2 —, r ni
dx dy
dx dz
cPY dy dz
Id
Il disparaissant encore devant les autres termes du second membre, pour des valeurs absolues de h, k, l, suffisamment petites.
Pour qu'il y ait maximum ou minimum, il faut donc que le polynôme qui précède R dans le second membre «le la formule conserve, dans ces conditions, un signe invariable.
Posons, pour simplifier,
d^-Y dx'' -■^'
d"- V dy'
dydz--^'
d'Y dx dz
et écrivons en même
temps
d'-F dzd'-F dx d y
