IV

Nous aurons ainsi, pour le polynôme considéré, en niellant h- en facteur,

ou, en laissant de côté le facteur \ h- dont le signe est invariable et en ordonnant |)ar rapport à 0,

Quels que soient les rapports arbitraires p et cr, il y aura maximum ou minimum, suivant que la valeur tle ce polynôme sera constamment négative ou positive.

Or, en le regardant comme un trinôme du second degré en p, il en sera ainsi si l'on a

A'<o (pour le maximum), A' > o (pour le minimum),

en même temps que

■ (r,7-r-Wy — A'{A"cr'-^2V>'^-\-\)<o.

Or, la seconde inégalité, qui doit avoir lieu quel que soit i, revient à

(B- — A'A")7- + 2(BB"-A'B')7 + (B"2 — AA'Xo.

En regardant le premier membre de cette inégalité comme un trinôme du second degré en n, elle sera satisfaite, si l'on a à la fois

(ce qui entraîne, d'après le signe de A', la condition A"<o pour le maximum et A" > o pour le minimum), et

(BB"— A'B')-- (B^ — A'A") (B"^- AA')<o

(ce qui entraîne B"- — AA'<o et, par suite, A<o pour lo maximum et A > o pour le minimum;.

La dernière inégalité développée donne, en simplifiant et en divisant ensuite tous les termes par le facteur commun A',

AB = + A' B'2 -H A' B"^ — AA'A" — 2 B B ' B" > o,

suivant qu'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum; car^ dans le cas du maximum, on a A'<o, et il faut, en divisant par A', renverser le sens de l'inégalité {Alg. élém., 215). Ainsi, les conditions du niaximuni sont

A'<o, B- — A'A'<o, AB^ + A'B'^4-A"B''2— AA'A'— 2BD'B">o,

et celles du minimum sont

A'>o, B^ — A'A'<o, AB^ 4- A' B'^ ^ A " B "- - AA' M' - 2 BB' B" < o.

On voit donc que la condition

doit être remplie, aussi bien pour un maximum que pour un minimum; et, ensuite, que les trois coefficients A, A', A", doivent avoir ensemble un signe contraire à celui de l'expression

leur signe commun étant yioiss pour un maximum et plus pour

un MINIMUM.

De C. — Cours. 111. 42

G58 ALGÈCRE SLPCRIEUnE.

Nous ne considérerons pas un plus grand nombre de variables indépendantes.

Il arrive d'ailleurs souvent qu'on décide enlre le maximum et le minimum, en s'aidant de considérations particulières fournies par la nature du problème à résoudre.

7i9. Il n'est pas inutile de remarquer que, si toutes les dérivées partielles d'un certain ordre sont nulles, la diiïérentielie totale du même ordre est nulle, puisqu'elle est la somme des produits respectifs des mêmes dérivées par les accroissements arbitraires attribués aux variables correspondantes.

Uéciproquement, ces accroissements étant indépendants les uns des autres, si la différentielle totale d'un certain ordre est nulle, toutes les dérivées partielles de cet ordre sont également nulles.

On peut donc résumer tout ce qui précède (7i7) en disant que, pour qu' une fonction atteigne un maximum ou un minimum, il faut que la première différentielle totale qui ne s'annule pas pour les valeurs attribuées aux variables soit d'ordre pair, et qu'elle consente un signe invariable, qui sera le signe moins dans le cas du maximum et le signe plus dans le cas du minimum.

Applications.

730. i" Inscrire dans une sphère donnée, de rayon r, un parallélipipède rectangle dont le volume soit un maximum.

Désignons par ix, 2 r, 2;, les arêtes latérales du parallélipipède. Son volume V aura pour expression

(i) \—^xrz.

Cbacune de ses diagonales étant un diamètre de la spbcre circonscrite, on a, en divisant par 4 l^s deux membres de l'égalité,

Il en résulte

Si V est maximum, il en est de même de V-. La fonction dont on doit cbercber le maximum est donc finalement, en

ALGÈBRE SUrÉRlEUnE. G5c)

supprimant le fadeur constant 64,

( 3 ) F {a-, y ) = jc-y- ( /■- — x"^ — }'' ) = ''' ■^'J''^ — ^'f' — -^r- >•'*.

C'est une fonction de deux variables indépendantes ce ei y.

Pour appliquer les résultats précédents, nous commencerons par chercher ses dérivées partielles du premier et du deuxième ordre. Nous obtiendrons ainsi

dy d-'F dx-

ir-xf

'.xj-

dx d)

d-F dy-