S XV

Égalons à zéro les dérivées partielles du premier ordre. On peut supprimer, dans la première équation, le facteur commun 2xf^ et, dans la seconde, le facteur commun 2x'^f. Les solutions correspondantes, .r = o et y ^^o, ne conviennent pas, évidemment, à la question proposée.

Nous aurons donc simplement à considérer le système

Il conduit, en tenant compte de l'ériualion (2), à

rv/3

Le parallélipipède rectangle inscrit dans la sphère donnée, et dont le volume atteint un maximum, est donc le cube qui a pour arèle le tiers du côté du triangle équilatéral inscri dans un grand cercle de la sphère.

C'est ce que nous allons vérifier. Pour fiu'il en soit ainsi, il faut que les valeui'S trouvées |)our x, y, z satisfassent aux deux inégalités (746)

df-

dx dy dj" dx-

66o ALGÈBRE SUPÉraEURE.

On trouve, successivement, pour ces valeurs,

dy- dx- 9 ' dx dy 9

La seconde inégalité se réduit donc à

87' -87' <°' cl l'on a bien un maximum.

751. Le théorème connu sur le maximum du produit d'un nombre quelconque de facteurs positifs variables dont la somme est constante {Alg. éléni., 292) nous aurait conduit bien plus rapidement à la solution de la question, (jue la méthode générale que nous venons d'appliquer.

Nous avons, en effet (750),

.X- -\- y--r- z-T= /■-:= const., et la fonction dont il faut déterminer le maximum est

Il faut donc, d'après le théorème rappelé, qu'on ait

c'est-à-dire, puisqu'il s'agit de quantités essentiellement positives,

On peut d'ailleurs retrouver comme il suit, en les étendant, les deux théorèmes si utiles démontrés précédemment sur les maximums d'un produit dont la somme des facteurs simples est constante {Alg. élém., 292, 297).

752. 2° Partager un nombre A en m parties x, y, z, ..., c, telles que le produit

(i) (^ = xPy''z'-. . .v'

soit un maximum, les exposants p, q, r, ..., t, étant des nombres positifs donnés, entiers ou fractionnaires.

ALGÈBRE St'PÉraEUnE. C6i

On a l'équalion de condilion

(2) a- ^y -^ z -Jr-.. .^v =:A

et, pour que le produit ^ alleigne un maximum, il faul qu'on ail (7i9) ^

En appliquant le théorème des différentielles logarithmiques (573) à l'équation (i), il vient évidemment

„ , . d^S dx dv dz clv

(3 bis) --- n^ « ^ + r/ — + /• \-...-ht—'

I ^ . ,.„ dxP dx \ On a, en effet, en simplihant, — - = />

y * xi' X )

D'ailleurs, l'équation (2) peut s'écrire

p --= A — X — y — z — . . . , d'où .

dv — dx — dv — dz — ...

La valeur de -^7 devient donc

,^, d'-î dx dy dz

et l'on a en même temps, en différenlianl de nouveau (3 bis).

dx -\- dv -\- dz -V . . .

Si l'on fait maintenant d^S = o dans l'équation (5), pour arriver au maximum ou au minimum de 'P, on a

dx dv dz dx -h dv -h dz -\- ...

C6j. algèbre supérieure.

Cette équation sera évidemment satisfaite si l'on a

ce y ^ A — JL — v — ; — ...

ou, en renversant et d'après la relation (2),

(8) - ^^ =1: -=...= y = — ^ (Alg. élém., G3).

Il faut donc, pour avoir les valeurs de x, y, z, . . , r, qui répondent au maximum de ^i*, partager le nombre donné A en parties proportionnelles aux exposants respectifs p, q, r, . . ., t [Arithm., i30].

C'est bien un maximum de 9? qu'on obtient ainsi (7i9); car, pour ces valeurs, en vertu de l'équation (6) et à cause de (/i"' = G, on a nécessairement

Si l'on suppose /:> = 7 1= /■:=.. .^= ^ := i, le maximum du produit

<$,=.xyz....v

s'obtient donc en prenant les m facteurs égaux entre eux et à — {Alg. élém., 292).

Maximums et minimums des fonctions implicites de plusieurs variables indépendantes.

753. Supposons n équations renfermant n+p variables X, y, z-, . . ., c, (f, .... Ces équations formeront un premier système

Jn{-r,y, -,••-, '", "^, . . ■)

Parmi les n -^ p variables, nous pourrons alors en regarder p, telles que x, y, z, . . ., comme indépendantes, et les n autres variables, telles que r, u-, .... seront des fonctions des premières, définies par le système (r).

Admettons qu'on veuille trouver spécialement les maximums ou les minimums de la fonction c.

ALGET3RE SUPERIEURE.

Nous différenlierons les équations qui forment le système (0, et nous obliendrons un nouveau système de n équations, qui sera

- -4^ dv -h -f-î- du' -^...— o, dv d\v

df, , df, ,

- -7^ dv -H -^ dw -h ... — o, dy' d^v

["Kl..

1 dx

dy -^

dz

df. .

{i) ( dx

dv -^

dt\ J

— — dx 7— dy H -— dz -h ... H 7— dv 4- -7— atr

\ rf.r <:(/ -^ (/:; dv «<v

Dans ces équations, dx, dy, dz, ..., sont des constantes, et dv, dw, ..., sont les différentielles totales des fonctions ^, il', ....

Entre les n équations (2), nous éliminerons les n — i différentielles totales des fonctions «•, ..., autres que la fonction V, en tenant compte immédiatement de la condition dv — o, qui répond aux maximums ou aux minimums de celte dernière fonction (7i9).

Nous parviendrons de cette manière à une équation de la forme

(3) Pdx-{- Q dy ^ndz-h... = o,

où P, Q, r>, . . ., seront des fonctions des variables indépendantes X, y, z, .... Conmie les constantes dx, dy, dz, . . ., n'ont enire elles aucune dépendance, l'équation (3) se résout en un nouveau système de p équations

(4) Pi=o, 0 = 0, R=o,

En réunissant les systèmes (i) et (4), on obtient n -h p équations pour déterminer les valeurs des n -\- p variables, qui répondent aux maximums ou aux minimums de la fonction V spécialement considérée.

Pour reconnaître si les valeurs trouvées ainsi pour v sont des maximums ou des minimums, il faudra calculer la différentielle seconde c/V etvoir si elle conserve toujours le même signe et quel signe (7i9).

Toi. Il est clair que l'analyse précédente renferme le cas où l'on a à considérer des fonctions de plusieurs variables indépendantes liées entre elles car d'autres équations.

Gj4 algèbre supérieure.

En faisant tout passer dans le premier membre de chaque équation, on transformera, en effet, les premières fonctions en fondions implicites, et l'on obtiendra un système analogue au système (i; [7o3], avec cette seule dilîérence que les équations qui lient les variables indépendantes ne renlermeront pas les fonctions prupoiées de ces variables.

ALGtUUE SUPERIEURE.

CGI