PREMIERES NOTIONS SUR LES INTÉGRALES
Définitions et théorèmes fondamentaux
735. Dans ce qui précède, nous avons étudié les difîéreiilielles des divers ordres des fonctions quelconques d'une ou de plusieurs variables, et les questions analytiques qui s'y rattachent. Nous ne pouvons terminer sans dire quelques mots des intégrales.
Le Calcul intégral est l'inverse du Calcul différentiel, et il a pour but, d'une manière générale, la recherche des fonctions d'après leurs différentielles.
Nous nous bornerons, dans ce Chapitre, à exposer les principes fondamentaux.de ce calcul inverse et à indiquer rapidement les méthodes d'intégration les plus simples, afin de pouvoir les appliquer au besoin en Géométrie analvtique (t. V).
Il ne s'agira, bien entendu, que de fonctions d'une seule variable.
736. Considérons d'abord une courbe quelconque AB, rapportée à des axes rectangulaires 0^ et 0/ ij^o- '7)-
L'aire comprise entre une ordonnée fixe AC, une ordonnée quelconque MP, l'arc de courbe correspondant AM et l'axe Ojc, est nécessairement une fonction de l'abscisse ^=:0P du point M, puisqu'elle varie avec la position du point P, le point M variant alors lui-même sur la courbe.
Si l'on désigne par a l'aire ACPM, l'aire MPP'M', qui répond à l'accroissement A.r = PI*' de œ, sera à son tour A«.
Menons respectivement, par les points M et M', des parallèles MI' et M'I à l'axe Ox, jusqu'à la rencontre des ordon-
ALGEBRE SUPERIEURE.
nées M'P' et MP, et supposons, sans que cela soit absolument nécessaire à la dénionslralion, (|ue les points M et M' sont assez rapprochés pour que l'ordonnée y de la courbe varie toujours dans le même sens de l'un à l'autre. Nous aurons évidemment rM'= A/, et l'aire lu sera comprise enlre
Fig. 17.
les aires des deux rectangles MPPT et IPP'M'. On pourra donc poser (dans le cas de la figure)
V \.v < lu <{}■ -T- \r) Ij:,
c'est-à-dire, en divisant par Ij:,
lu .
OU, en passant à la limite, et lu comme ly tendant vei's zéro en même temps que Aj? (o3i),
du dx
et
du = y dx.
On arrive ainsi à ce résultat qu'il importe de retenir :
Les axes étant rectangulaires, la dérivée de l'aire d' une courbe, entendue dans le sens indiqué, est, d'une manière générale, égale à l'ordonnée de cette courbe.
Si, au lieu d'employer des axes rectangulaires, on emplo^'ait des axes obliques faisant entre eux l'angle B, les deux rectangles qui comprennent l'aire lu seraient remplacés par deux parallélogrammes ayant leurs côtés parallèles aux axes cl ayant pour aires respectives ( Trigon., 153)
y Ix &\nO et {y + ly) Ixs'mB.
ALGEBRE SUPÉRIEURE.
On Irouveiait donc, dans cette hypothèse, du
dx
= /sin9 et du =z y dx'ixnO.
757. Passons à la recherche de l'aire totale comprise entre les deux ordonnées fixes AC et BD, l'arc de courbe correspondant AD et l'axe 0^ {fig. 18).
Fig. 18.
Divisons la portion CD de l'axe 0^ en n parties, égales on inégales, mais devenant toutes infiniment petites quand n devient infiniment grand. Sur ces divisions comme bases et avec les ordonnées correspondantes de la courbe, construisons des rectangles intérieurs et exiérieurs à cette courbe AB, comme Tindicjue la figure. Par exemple, sur la division PP' qui répond à l'aire curviligne MPP'M', nous obtiendrons le rectangle intérieur jMPPT et le rectangle extérieur IPP'M'.
L'aire ACDB est, à la limite, la somme d'un nombre infiniment grand de parties infiniment petites, telles que MPP'M'.
Or, les deux rectangles MPP'I' et IPP'M', qui comprennent entre eux l'aire curviligne MPP'M', ont même base, et leur rapport est celui de leurs hauteurs MP ou y el M'P' ou/-t- Ak. Ce rapport, à la limite, est donc égal à l'unité, et il en sera de même, a fortiori, du rapport de l'aire MPP'M' à celle de l'un des doux rectangles.
On a, par conséquent, le droit, d'après le second principe fondamental de la Méthode infinitésimale (o29), de remplacer, dans la recherche qu'on poursuit, l'aire MPP'M' et toutes les aires analogues par celle de l'un des deux rectangles qui les comprennent respectivement. En choisissant,
ALGEBRE SUPERIEURE.
par exemple, le rectangle intérieur dûul l'aire est exprimée parjA,r, on aura
a=OD
aire ACDB = u z=^ lim 7^ y Ax.
a=OC
La caractéristique 2. indique, comme à l'ordinaire, la
somme de toutes les quantités analogues au produit r Aa contenues dans l'intervalle déterminé par les valeurs extrêmes de ^, c'est-à-dire par OC et par OD.
Nous avons supposé {Jig. 18) que l'ordonnée de la courbe AB croissait constamment dans l'intervalle considéré. Si l'ordonnée était constamment décroissante, le même raisonnement subsisterait. Comme on peut, d'ailleurs, partager l'aire totale à évaluer en portions pour lesquelles l'ordonnée de la courbe varie toujours dans le même sens, le raisonnemeni précédent s'applique finalement à un arc de courbe présentant, relativement à son ordonnée, des alternatives quelconques de croissance et de décroissance.
7o"8. Reprenons l'expression
Il = lim 2 j- Ax,
et faisons croître n indéfiniment.
A^ deviendra infiniment petit, et l'on pourra le remplacer par da^, puisque ce sera l'accroissement infiniment petit de l'abscisse. On aura ainsi y djc, différentielle de u [756], au lieu de r Aj7. En même temps, on remplacera la notation
par la notation
lim 2. y ^^
r dx,
j=OC
qu'il faut lire somme intégrale ou Intégrale de tous les éléments différentiels de l'aire u.
ALGÈBRE SUPÉRlEUnE. 66'q
.r = OD
L*expression \ /A.r n'indique qu'une valeur approchée
j=OC
(le l'aire ACDB, et elle ne devient exacte qu'à la limite. L'e\-
pression / y dx représente exactement l'aire ACDB ou
la somme complète de ses éléments, et c'est pour cela qu'on donne le nom à' intégrale à cette seconde expression.
L'ordonnée y de la courbe AB étant aussi une fonction de X que l'on désignera par f{x), on peut, en posant en outre OC =: Xq et OC == j^j, écrire l'intégrale précédente sous la forme
f{x)clx.
Comme les limites en sont indi(/uées, cette intégrale est dite une intégrale uéflme, prise depuis l'abscisse x^ jusqu'à 'l'abscisse x^.
Par convention, on place la limite inférieure au J3as du
signe / et, la limite supérieure, au haut de ce signe.
Calculer, au point de vue o\x nous nous sommes placé, une intégrale définie, c'est effectuer une quadrature, puisque c'est déterminer une aire telle que ACDB, ou le carré équivalent à celte aire.
759. Le problème qu'on vient de traiter donne la solution de la question posée par le Calcul intégral (755), solution qui, d'une manière générale, existe toujours.
En effet, si/(j?) est une fonction réelle de la variable indépendante X, supposée continue entre les limites fixes ^o et J7,, on pourra toujours trouver une fonction ayant pour différentielle/( J^) «fj; ou pour dérivée /(^), entre les mêmes limites. Il suffira pour cela de construire {fig. 19) la courbe AB, dont l'équation ou l'ordonnée est
Si l'on mène alors les ordonnées CA et PM qui répondent à l'abscisse fixe Xç^ et à une abscisse variable x comprise entre Xg^OC et ^i=OD, l'aire ACPM sera (756, 758) une
fonction F (.r) aj'ant pour dil^évenl'ieWe /{x) dx ou pour dérivée/(>r), entre les mêmes limites.
l-iC- 19-
Nous énoncerons donc ce premier théorème : 1. La limiie de somme représentée par
f '/{■r)dx
est une fonction de la varitble x ayant pour différentielle f{x) dx ou, pour dérivée, f{x ).
On peut l'exprimer en écrivant
f{x)dx = f{x)dx ou 1) / f{x)dx=f\x).
La limite inférieure o^o étant fixe, on a une intégrale définie (758), si la limite supérieure x^ est également fixe. Si cetle limite supérieure demeure variable, on dit, simplement, que l'intégrale est prise à partir de Xq.
760. Quand on donne une fonction, quelle qu'elle soit, sa différentielle ou sa dérivée est, comme on l'a vu, complètement déterminée.
Le problème inverse admet, au contraire, un nombre illimité de solutions; et l'intégrale d'une différentielle f{x)dx est susceptible d'une infinité de valeurs.
Supposons, en effet, qu'une fonction F(^) ait pour différentielle/(j:)^^:". Si l'on ajoute à cette fonction une constante arbitraire C, la nouvelle expression
ALGKBIIE SUPÉRIEURE. 67 I
aura la même différentielle, puisque loule constante disparaît dans la différentialion d'une somme (568), Et, comme deux fonctions qui ont la même différentielle ne peuvent ]irécisémenl différer que par une constante (oi9, 5i3), toutes les fonctions qui répondent à la question seront comprises dans l'expression générale
On pouvait s'attendre, d'après ce qui précède, à cette indétermination s|>éciale; car nous avons choisi, aussi arbitrairement (759), l'abscisse fixe ^o ou OC. En parlant {Jig. 19) de l'abscisse OC, on aurait obtenu une aire différente A'C'PM, ayant encore pour différentielle /(x)(ix.
L'expression générale
est dite l'iMÉiiRAi-E indéfinie ou, simplement, I'intégrale de la différentielle f{x)djc-, et on la représente, sans indication de limites, par la notation
f{x)dx.
Nous résumerons ce que nous venons de dire dans ce deuxième énoncé :
II. Lorsque l'on a trouvé une fonction V {x) dont la différentielle est f{x)dx ou la dérivée f{x), pour toute valeur de X comprise dans unintervalle déterminé, on obtient toutes les fonctions qui jouissent de la même propriété en ajoutant à la première F(j:) une constante arbitraire C.
Des intégrales définies. — Élimination de la constante.
761. T(jute intégrale définie est évidemment comprise dans l'intégrale indéfinie correspondante, et répond à une certaine valeur de la constante arbitraire C.
Oïdinaircment, le problème posé permet de connaître (luelle valeur Xo la fonction générale F(^) + G doit prendre pour une certaine valeur Xq de la variable x. On i)eut alors éliminer immédiatement la constante, puisque l'on doit avoir
r(ao) + C — Xo, d'où C = Xo— F(a-u),
et la fonction générale devient
F(^)-F(j:o) + Xo.
Le pins habituellement, elle doit s'annuler pour x = x^, on a alors Xo=o, et elle prend la forme
On peut écrire, dans ce cas, sans constante arbitraire
f{x)dx = F( j;) — F(Xo),
et celte expression est celle de l'aire ACPM {fig. 19), jcç^ répondant à l'abscisse fixe OC, et l'abscisse x =: OP restant variable.
Si l'on donne à x la valeur déterminée x,=r OD, l'intégrale devient elle-même complètementdéterminée, c'est-à-dire que l'on a V intégrale définie de la différentielle f{x)dx
prise depuis x-=Xq Jusqu'à x^=Xi, et ayant pour valeur l'aire ACBD.
Nous pouvons donc énoncer ce dernier théorème fondamental, conclusion de tout ce qui précède :
III. L'intégrale définie de la différentielle f{x)dx, prise de X ^= Xq à x^^ Xi, est la limite vers laquelle tend la somme des valeurs de la différentielle f{x)\x ouf{x)dx, lorsque x varie d'une manière continue, c'est-à-dire en prenant des accroissements successifs infiniment petits, dans l'intervalle considéré.
762. Ainsi, en se plaçant au point de vue du calcul, et l'accroissement fini d'une fonction étant égal à la somme des accroissements infiniment petits qu'elle prend successivement dans l'intervalle proposé (oi7), on voit que, pour déterminer une intégrale définie telle que (3) [~6i], il faut trouver la fonction Y{x) dont la dérivée estf{x) ou la différentielle /{x)dx, remplacer dans cette fonction F{x) la variable x par sa limite supérieure x^, puis par sa limite inférieure Xq, et retrancher le second résultat du premier.
ALGÈBRK SlIPÉRlEUUr. (J-3
Il est entendu, pour le moment, que/(^) conserve une valeur finie et continue depuis a:=:j:o jusqu'à ^ = ^,, et que les deux limites œ^ et 07, sont elles-mêmes finies.
7G3. Voici quelques remarques essentielles au point de vue des applications :
1° Les signes ci et f représentent des opéralions inverses l'une de l'autre et se détruisent matnellement iorsqu'on les superpose.
On a donc, par définition même et en laissant la constante de côté,
(:'i) d jf{x)dx=f{x)dx et fdFix)=zF{x).
2" Quand on intervertit l'ordre des limites, on change le signe de l'intégrale définie.
On a, en elTel, par convention (7o8, 702) et Y\x) étant égale à /(^),
f^x)dx^Y{x,)-Y{x,),
f{x)dx = ¥{xQ) — F{xi),
et il en résulte
(5) J 'f{x)dx = -J^"/{x)dx
3" Une intégrale peut présenter des éléments négatifs, chaque produit /(ic)A^ ou f{x)dx étant, dans tous les cas, positif ou négatif, suivant que ses facteurs sont de même signe ou de signes contraires.
Au lieu d'avoir une courbe telle que AB, la courbe / =: f'{x) peut {fig. 20) affecter la forme AKMLB. Elle coupe alors deux fois l'axe Ox en K et en L.
Les deux portions d'aire ACK et LDB, situées au-dessus de l'axe Ox, sont positives, tandis que la portion d'aire KML, située au-dessous de cet axe, est négative.
De c. — Cuu,^. m. 43
6~^ A7,GÈB1;E SUrÉRIEURE.
Eu posant OC =; jTo, OD = a;i, l'aire totale ACK— RML + LDB
sera toujours représentée par
f{œ)dx= F(^i) — F(.ro),
el elle pourra être nulle, si la partie négative KML est égale, en valeur absolue, à la somme ACK + LDB des parties positives.
Fij. 20
4° La dérivée f{cc) de ¥{x) restant finie et continue quand X varie de Xq à Xy, de x^ à ^o» de x^ à x-^, . . ., de x,j i à x,^, on a la formule
f /{x)dx= f{x)dx-\-j f{x)dx+.. En effet, la formule (6) revient à l'identité
X ) dx.
La formule (6) subsiste, lors même que les limites ne sont pas rangées par ordre de grandeur, les éléments du second membre qui ne se retrouvent pas dans le premier se détruisant nécessairement deux à deux. On peut le vérifier facilement, en ne considérant, par exemple, que les limites x^, x^. Xi, x-i, disposées dans l'ordre Xq, x.2, X3, x^.
ALGÈBRr: SUPÉRIEURE. 0^5
5" Sif{x) eto{x) sont deux Jonctions qui restent continues pour les valeurs dex comprises entre les limites Xq et x^ > x^ et si, dans cet inten^alle, on a toujours J {x) > o{x), on a aussi
C f{x)dx> C o{x)dx.
Les deux intégrales définies sont des limites de sommes, et chaque élément différentiel de la première somme est, pnihypothèse, supérieur à l'élément différentiel correspondanl de la seconde. L'inégalité indiquée est donc vérifiée.
Celte remarque permet de renfermer une intégrale définie entre deux limites.
En effet, si la fonction f{^) demeure comprise entre les fonctions ']){x) et o{x), dans l'intervalle (^o» ^\), et que ces fonctions soient continues dans cet intervalle, on a, d'après ce qu'on vient de dire,
I <li{x)dx> I /{x)dx>l o{x)dx.
Si l'on ne sait pas intégrer/(^) <r/^ et si l'on sait, au contraire, intégrer ^(x) dx et o{x)dx, on obtiendra donc deux limites de l'intégrale inconnue.
764-. Nous terminerons ces préliminaires, en montrant que le théorème fondamental sur les intégrales définies (761) peut être établi directement par l'Analyse, à l'aide des principes du Calcul différentiel.
Admettons que F{x) soil l'une quelconque des intégrales de/(:r) dx (760) : on aura/(^) =: F'{x).
Par suite, a étant une fonction de x et de Ax qui s'annule en même temps que Ax, on pourra écrire (oio)
c'est-à-dire
(2) AF{x) = [f{x)~y.]Xr.
Si l'on fait maintenant varier x par degrés de plus en plus rapprochés, depuis x ■= Xq jusqu'à x=zx,, la continuité de /{x) étant supposée, on obtiendra, pour chaque valeur at-
6~6 ALGÈBUE SUPÉRIEURE.
Iribuée à x, une équation analogue à l'équalion (2). Eu ajoutant toutes ces relations membre à membre, le premier membre de l'égalité résultante, somme des accroissements AF(a;), représentera l'accroissement total de F(^) entre les limites indiquées ou F(a7, ) — F(^-o), et l'on aura
(3) Y{x,)~V{x,) = \ïm ^f{x)^x-:-\\m ^ « -^
X =Xa
Mais 2. ^-^ '^ ^^^ pour limite finie a-, — x^. Par conséquent,
les valeurs de a étant à la limite infiniment petites, on a, d'après un théorème précédemment démontré (528),
lim 2. ^ ^'^ ^ o»
et il reste
(4) F(^-,)-F(^o) = lim2/(^)^^=/ '/(■^)^^.
Ainsi, l'intégrale définie est bien la somme des valeurs infiniment petites de la différentielle (oi7), entre les limites indiquées.
Procédés d'intégration les plus simples.
765. L'opération par laquelle on passe de la différentielle d'une fonction à cette fonction elle-même porte le nom d'/ntégration.
Puisque les deux opérations, Différentiation et Intégration, sont inverses l'une de l'autre, chaque proposition relative à la différentiation a sa réciproque dans l'iulégralion.
On trouvera, à la fin de ce Volume, deux Tableaux parallèles, qui se répondent et se complètent mutuellement. Le premier renferme les différentielles et les dérivées les plus simples et les plus usuelles; le second fait connaître les intégrales qui résultent spontanément, pour ainsi dire, de la lecture des différentielles inscrites dans le premier.
Nous, allons entrer dans quelques développements sur ce point, et indiquer ensuite les autres procédés les plus élé-
ALGÈBRE SUPÉratURE. G'j'J
mentaires. Nos lecteurs n'auront pas besoin, en général, d'aller plus loin, lorsqu'ils étudieront la Géométrie analytique (t. V).
I^iTÉGRATION IMMEDIATE.
766. Nous remarquerons d'abord que, lorsque l'intégrale indéfinie d'une différentielle est connue (759, 760), la relation (3) fournit ensuite son intégrale définie entre les limites données (761, 762).
Cela posé, l'intégration est absolument immédiate, lorsqu'on retrouve, sans cliangement, sous le signe / , la différentielle d'une fonction connue.
Nous allons parcourir quelques exemples.
1° Si l'on a à chercher
on n'a qu'à se souvenir que la différentielle de Ijc est égale à — [586]. On peut alors écrire, en désignant par C l;i constante arbitraire, l'intégrale indéfinie
Si les limites données sont x ^ a et x =z b "> a, on a donc (762)
— = /t> — La=^ L -'
2° Si l'on a à chercher
cos^ dx,
il suffit de se rappeler que la fonction sin^ a pour dilterenlielle cosxdx [oiJSJ, pour écrire
/ cosjt dx = sin.r H- C.
Si les limites sont, pour l'arc .r, o et -? il vient
o" La fonction tani^j; ayant pour dilTérenlielle [601], on a de même
cos.r d.v = sin — — sino = i .
dx ,
cos-^
et, pour les limites ^ = -^ et j: := y > b 4
C dx T. - I 3 — Jl> , „
/ — '-, — := lang-y — tanir-. = 1 ^ =: r^— = 0,4226....
J^ cos^^- "^ 4 ^ \iè ^
