Soit encore
r dx
La différentielle de arc sin j? est précisément (609) celle qui est placée sous le signe / . On a donc
dx
arc sin.» + C.
Mais il se présente ici, pour le passage à l'intégrale définie, une difficulté dont il faut être averti.
Supposons que les limites données soient x ^=. — ^ i et ^ ^: i. Nous aurons
' dx
- :=z arc sin i — arc sin(— i).
Or, à un même sinus^, correspondent une infinité d'arcs compris dans les formules {Trigon., 12)
2A'--+-x et (2A--4-I)- — X,
k étant un entier quelconque. La fonction arcsin^' n'est donc
pas complèlemenl déterminée, et il en est de même des deux termes arcsini etarcsin — i, lorsqu'on les considère séparément; mais leur différence n'est pas indéterminée. C'est ce que nous allons montrer.
Les deux arcs (arcsini et arcsin — i) peuvent faire partie, soit de la première formule générale que nous venons de rappeler, soit de la deuxième, soit, respectivement, de l'une ?t de l'autre. Le résultat demeurant identique, comme il est facile de le vérifier, nous admettrons que les deux arcs appartiennent à la première formule
Nous pourrons alors écrire
arc sin I =: 2 A- ^- - ? arc sin — i = 2 A- — - >
k conservant, bien entendu, la même valeur dans les deux égalités, puisqu'il s'agit d'un arc variant d'une manière continue depuis la valeur pour laquelle son sinus est — i jusqu'à celle pour laquelle son sinus est i.
Il en résultera finalement
7G8. 5° Si l'on donnait
r dx
I + x^ou aurait, de même (613), dx
/dx „ z= arc tang^ -;- <..
H s'ensuivrait
dx
arc tang i — arc tang( — 1).
A une même tangente x correspondent une infinité d'arcs compris dans la formule {Triifon., 23)
C8o ALGÈBRE SUPÉlllEUUE.
Le plus petit arc dont la tangente est i étant -,', on pourra
donc écrire, sans ambiguïté (767), et en supposant l'entier k quelconque.
769. La comparaison des deux Tableaux indiqués (765) conduira sans peine à d'autres résultats analogues, qu'il faut, autant que possible, retenir par cœur.
Il est essentiel de remarquer, à ce sujet, que la fonction logaritbmique (766) et les fonctions circulaires inverses (767, 768) sont des intégrales de différentielles algébriques. Ces fonctions se seraient donc présentées nécessairement, dès le début du Calcul intégral, comme des éléments analytiques nouveaux, lors même que l'Algèbre et la Trigonométrie n'en auraient pas donné d'avance la théorie. On comprend par là, sans insister, qu'il est dans la nature même de l'intégration de donner naissance à de nouveaux types de fonctions en nombre illimité et que, par conséquent, les Mathématiques trouvent dans ce calcul inverse une mine inépuisable de recherches.
TIIÉORÈMI-S DE TRANSFOR'iATION El DE DÉCOMPOSITION.
770. L On peut, à volonté, fai/e sortir un J acteur constant du signe 1 ou le faire entrer sous ce signe.
On a, évidemment.
/ a f{^) dx ^ a j f{jc) dx.
a étant un facteur constant.
En effet, tout facteur constant persiste dans la différenliation (573), et deux fonctions qui ont la même différentielle ne peuvent différer que par une constante arbitraire additionnelle (760).
On peut dire encore qu'il revient au même de multiplier par un facteur constant chaque élément d'une somme ou la somme tout entière.
Ainsi, l'expression a 1 f{x)dx a pour différentielle a f{.v)dx
et, comme elle renferme implicilement une consiante arbitraire, elle représente bien l'intégrale indéfinie de af{x)clx. On aura donc, entre les mêmes limites ^o et o-j,
af{x)dxz=za 1 f{x)dx.
771. II. L'intégrale d'une somme algébrique de différentielles est égale à la somme algébrique des intégrales de ces différentielles.
En effet, u, v et t, étant des fonctions de x, on a (oG8)
d{u -\- i' — t) ^ du -\- dv — dt.
On a donc aussi
/ d{u -t- (' — 0 = I du-i- I dv — I dt ;
car les deux membres de cette égalité ont même différentielle, et chaque intégrale indéfinie entraine avec elle une constante arbitraire additionnelle.
On aura, par suite, entre les mêmes limites x^ et x^.
I d{u -j- ç — t)z=i i du + i dv — /
dt.
772. Le plus ordinairement, l'expression qui est sous le signe
/ n'est pas une différentielle connue ; mais il suffit souvent
d'une simple multiplication par un facteur constant convenablement choisi pour faire apparaître celle différentielle, et l'on peut alors regarder encore l'intégration comme immédiate. Le théorème I (770) a donc des applications très nombreuses, puisque l'on n'aura qu'à diviser ensuite le résultat obtenu par le facteur auxiliaire employé.
