Soit, par exemple
X'" dx.
La quantité x'"dx n'est pas une (liiïéronliclle connue;
682 ALGÈBRE SUPÉniEURE.
mais, en multipliant sous le signe par m-r- 1, on voit que
{m ^r- i) x"^ dx
est précisément la différentielle de x"^-^'^ (576).
Il en résulte qu'en multipliant sous le signe par m-^x et,
en dehors du si^ne, par -, les deux opérations se d'étrui-
ni -r- 1
ront (770i, en donnant
(3) jx"'dx= — — l {m -\- i) X"' dx =
Il est utile d'énoncer ce résultat sous forme de règle; car il n'en est pas de plus usuel.
Lorsque la fonction dérii'ée placée sous le signe f est une
puissance, on obtient immédiatement l'intégrale, sauf la constante, en augmentant d'une unité l'exposant de la puissance et en divisant le résultat par l'exposant ainsi modifié.
En appliquant cette règle et le théorème II (771), on peut écrire immédiatement l'intégrale qui correspond à une fonction dérivée exprimée par un polynôme rationnel en x.
On a ainsi
I {ox^ -i- 2x^ — - X- -î- ox — 3) dx
=/5,r'rfx^/..Vte ^f,.--d. ^f,.d.r -fîd.
Les lecteurs feront bien, dans les commencements, de vérifier toujours le résultat de l'intégration effectuée, en prenant les ditTérentielles des deux membres.
Nous ne devons pas terminer ce paragraphe, sans faire remarquer le cas d'exception qui se présente, lorsqu'on suppose dans la formule générale (3), m rzz — i. On trouve alors
au lieu de lx-\-(l que l'on devrait obtenir (766, i°). 11 ne faut pas d'ailleurs s'étonner que la formule générale devienne illusoire dans celte hypothèse, puisque l'intégrale Ir-^ C, ces-
ALGÈBRE SUPÉUIEURK. 683
sant d'être algébrique, ne peut plus être représentée par l'expression
hC.
Un arlifice de calcul peut conduire au résultat exact. C étant une constante arbitraire, on peut, sans rien modifier,
retrancher dans le second membre la fraction ? et écrire
ju>" dx ■= ' • -I- c.
Pour /« — — I , la fraction du second membre prend la forme -• Mais, si l'on applique la règle de L'Hospital (711), en prenant le rapport des dérivées des deux termes relativement à m., on trouve d'abord
et, ensuite, pour m-=i — i, Ix. On retombe bien ainsi sur la formule connue
77i. 2" Soit encore
(t^'clx.
La quantité placée sous le signe n'est pas une différentielle connue; mais elle deviendrait celle de a^ [389], si on la mul-
tipliait par p-^ C'est ce que l'on a le droit de faire, à la con-
loge
dition de multiplier hors du signe parle facteur inverse •
Il vient ainsi
r x^ ^^^^ riog^ loge
/ a^ dx=z - — — / , a^ dx = —^-- a^ h C.
J logaj loge; loga
775. Le théorème relatif à la dilférentiation des fonctions de fonctions (363) peut être souvent invoqué, soit seul, soit combiné avec le théorème I (770).
3'^ Ainsi, la différentielle d'un logarithme conservant la fonction intacte au dénominateur (387) et la dérivée de la
684 ALGÈBRE SUPÉraEL'RE.
variable indépendante étant l'unité, on a, évidemment,
ri.r
— = l(j; -+- a) jc -i- a
On a, de même
— -^ — ILc -i- V.,.
.r lu;
On a aussi (T73) / — ( (ce ^ a)-Pclx
— p^i {p~i){jc -i- a
En multipliant et en divisant par 2 (770), il vient également {060, 587)
J x--va- ^ J X- -r a- -
De même
C^^dx^\ Ç'^-^dx = \ {lxy+ C.
Enfin (060, G 13)
dx
- arc tang ( — ) + ^
776. En décomposant la différentielle placée sous le signe en une somme de plusieurs autres et en appliquant le théorème II [771], on parvient fréquemment à tourner la difilculté et à effectuer l'intégration. Le théorème II joue donc, lui aussi, un rôle important, bien qu'il faille quelquefois une habileté toute particulière pour le mettre en œuvre.
