Considérons l'intégrale

dx

sin^^ C0S-J7

En la multipliant et en la divisant par sin^^r + cos-j? = i, et en effectuant, on trouve successivement (GOJ, 60'i-),

/sin-^ + cos^^ , r dx f' dx

sin^u;cos-a; J cos-^ J sin^^

= tang.2? — cotx -I- C.

6° Prenons, en dernier lieu, l'expre&sion

r dx r dx

J a- — b'X^ J (a — bx){a-\-hx)

Si l'on a l'idée d'introduire au numérateur la somme

a — hx-^a-\-hxz:^ia,

il vient, en effectuant et en faisant usage de la remarque du n" 775,

/dx I r {^a — h x) -^ {a -\- b x') ,

a- — b- x- ICI J {a — bx){a-\~bx)

J f f dx r dx \

'2a\j a+bx J a — bxj

^ L { fJlÉ^ f=^)= -^ / " + f '^ + C.

2ab\J a-\-bx J a — bxJ -iab a — bx On peut se reporter au n" 59(5 (6°).

ALGEBRE SUPERIEURE.

1MÉ(ÎKAT10N l'AK SLI5ST1TH10N.

779. Supposons que l'expression différentielle /(a;)*^^ ne soit pas immédiatement intégrable, et que la variable x soit liée à une autre variable indépendante t par la relation

Il en résultera

dx=L o'{t)dt

et, par suite,

f{x)dx^f[o{t)]'j'{t)dt.^Y{t)r]l.

On aura donc (2) J'f{x)dx=jF{t)di.

Si l'on peut déterminer immédiatement l'intégrale du second membre, ou si elle est plus simple que celle du premier membre, l'emploi de ce procédé de substitution sera avantageux. Dans le résultat obtenu finalement, on devra remplacer t par sa valeur en fonction de x.

Lorsque la première intégrale doit être prise entre les limites Xq et Xi, il faut prendre l'intégrale substituée entre les limites ^o et t^, qui sont les valeurs de t pour lesquelles on a a;^ Xq el X =z a-^.