Quelques exemples éclairciront ce qui précède

ï" Soit d'abord

dr

La quantité placée sous le signe / n'étant pas une dilféren-

tielle connue, nous poserons, en désignant par ^ une nouvelle variable indépendante,

X =: al, d'où dx = ad t. Il viendra, en substituant

r dx r adt r dt • , , p

/ . :zz / - = / ■ = arc sin^ 4- C,

J \/'a-—x'- J v'a'— «'^' J sji — t-

ALGÈUKE SUPÉIUEURE. 68"

c'est-à-dire, en revenant à x,

dx . X

- r= arc sin r C.

\Ja-—x- ^

Il est clair, d'ailleurs, qu'on aurait pu éviter l'emploi du procédé par substitution, en s'appuyant sur le théorème relatif à la dilTérentiation des fonctions de fonctions (773), et en posant directement

a . /x\ - = arc sin — -t- C.

11 en sera souvent ainsi dans les exemples simples, où le procédé dont il s'agit aura surtout pour objet de soulager l'attention.

2» Soit encore

/ {ax-i-b)'"dx.

Dsons

ax -{- b = 1.

en résultera

dt

En substituant, on aura donc

I {ax-\- b)"'dx = ~ I t'"dt= -

ou, en revenant à x,

(ax 4- b)'^dx = - h

Puisque la différentielle de ax-^ b est adx, on aurait pu aussi, dans cet exemple, éviter toute substitution et écrire immédiatement

j {ax ^ b)"'dx= ~ I {ax-h b)"'adxz= -

{ax -h b)'"-^^

3° Considérons, en dernier lieu, l'intégrale fréquemment

rencontrcG

dx

œ^-i- bx -\- c

en supposant qne les racines de l'équalion x--{-bœ-{-c^=o sont imaginaires, auquel cas on a {Alg. élém., 237)

— — C ■< O ou C — — > G.

On a aussi

x'-+bx^c={x-^-^ -^(c- 4-)' t étant une autre variable indépendante, posons

b / b^ ,, ^ j ^ I b"- X -\ — ^t\c ;- > d ou dx =zdt i / c 7- •

Nous aurons évidemment, en substituant et en simplifiant.

dx I V 4

dt

\ r dt I

= / ;:= — , arc tangf + L

ou, en revenant à x,