OC

r dx I , ' 2 ^

/ ; = — — arc tan;? — , + C.

J x- -\- bx

IX ^r c

Si les deux racines imaginaires de l'équation x--\- bx -\- c =^0 sont mises sous la forme xdsz^i {Alg. élém., 237 , on a

a = -- et P = y/c-^,

et l'on peut écrire

/dx I , X — Cf. ^ — T = 75 arc tang — ^ \- C.

x^-^bx-^c ^ V

INTÉGRATION PAU l'AUTICS.

781. Ce procédé d'intégration est très important. Il est très fréquemment mis en œuvre et offre de précieuses ressources.

u et V étant deux fonctions de œ, nous avons trouvé pour la différentielle de leur produit (570)

(i) duv ^zz u dv -\- V dn.

On a donc, en intégrant les deux membres (771),

uv ^ I a dv -+-/*' du

et, par suite, 2)

/ Il dv = iiv — j V du.

Nous n'avons pas ajouté de constante, parce que chaque membre de l'équation (i), intégré, comporte une constante arbitraire.

Puisque uv est une partie intégrée, on ramène de cette

manière la recherche de l'intégrale / udv à celle de l'intégrale / vdu, qui peut être plus simple, ou mieux se prètei-

aux exigences de la question à traiter.

On voit que, dans les deux intégrales substituées ainsi l'une à l'autre, les fonctions et les différentielles sont permutées : on a, dans la seconde, c à la place de u et du à la place de dv.

Ce procédé pourrait s'appeler aussi intégration par facteurs, puisqu'il est fondé sur la décomposition du produit qu'on veut intégrer en deux facteurs, dont l'un soit une différentielle connue : dans le produit udv, dv est la différentielle connue de la fonction v.

782. Si l'on veut appliquer la formule (i) [781] à la recherche d'intégrales définies, on a, en appelant u^ et «'o, u^ et (',, les valeurs des fonctions u et v pour x^^Xq eix^zxi,

(3) / « a'r =: [«1 (', — «u^'o] — / ^'du.

De C. — Coiu^. NI. 44

ÔgO ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

783. Nous allons appliquer l'intégration par parties à quelques exemples choisis.

I" Soit l'expression

/ Ix dx.

Si l'on se reporte à la formule (2) [781], on a ici ii^lx, i> = x, du=z — .

Par suite,

/ Ix dx ^=z xlx — I ■^ ~~ ^^ •x:lx — j: -r- C.

2° Soit l'expression

/ arc \.diX\^x dx.

On a ici

dx u = arc tango-, v= x, du = ; •

Par suite,

I arc tang J7 dx =z x arc tang^ — f ^ ~

= X arc lang^ l(i -\- x^) -+- C.

3" Soit l'expression

Ici, e^ dx est la différentielle connue de e^. On a donc 11=^ X, V =z e^, du = dx, et, par conséquent,

4" Soit l'expression

/ arc sin^ dx.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 69 t

On a ici

u ^ arc sin x, v = x, au = — == ;

s/i — Xpar suite,

r . -, . r dx

I arc sin^ «j? ^ ^ ai'c sin:c — / x — .

On peut d'ailleurs écrire

/dx r — 7.x dx I

\J\ — x- Ji^i — a:^

et l'on a, finalement,

/ arc sino: dx ^x arc sin ^ + V^i — -3?- H- C.

78i. On peut avoir à appliquer le même procédé plusieurs fois et successivement, jusqu'à ce que l'on parvienne à une dernière intégrale, immédiatement connue.

5° Soit l'expression

/ x'^e'^- dx.

On a ici

u = x^y V = e^, du z= 3x- dx.

Par suite,

On devra calculer la seconde intégrale par le même procédé et en posant

« = 3,2:^, i>z=ze^, da=i6xd On aura ainsi

En opérant encore de même et en posant une troisième fois u =: 6x, V =: e^, du z= 6 dx, il viendra enfin

6g2 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

On trouvera donc, finalement, en substituant dans la première formule les résultats successivement obtenus.

j?^ e'^ dx ^=. e^ {jc^ — 3a;--\- 6x — 6 ). 6" Soit, encore, l'expression

X'" cosx dx.

cosxdx étant la difTérenlielIe de s\nx, on peut poser

a =^ x'" , i':=:sin.r, du =z rnx'"'^ dx.

Par suite,

/ x'"^ cos^ dx m x'" si il X — m I .r'"~' sin x dx.

On peut mettre la seconde intégrale sous la forme

— I x'"-^ sinx dx ^ I x'"-^ { — siax dx)

et poser, puisque — sinxdx est la différentielle de cos^, u^x'"-^, p^cos.r, du^z{in — i)x"'~- dx.

On a ainsi

— / x'"-^ sinx dx --= x"'~^ cos.r — (/« — i) / x'"-- cosx dx.

La question est donc ramenée à la recberche de l'intégrale

jjtn-i cos j; dx.

qui est de même forme que la proposée, sauf l'exposant deo-. On devra, par conséquent, poursuivre l'application du procédé jusqu'à ce que, m étant supposé entier et positif, et diminuant d'une unité à chaque opération, on parvienne à l'intégrale connue ^

fcos.d. ou f-sin.d.,

suivant que m sera pair ou impair. L'opération sera alors terminée.

ALGEBRK SUlT.niEU tlF..

Prenons, pour fixer les idées, m — 4» Nous aurons successivement

/ x'* cosx dx = X* sin x — 4 / x^ sin x dx,

— I x^ sinx dx = x^ cosor — Six- cos^ dx, I X- coix dx = X- sin .2^ — 2 1 x sin^ dx,

— 1 X sin^ dx = ^ cosa; — / cosx dx = j? coso; — sin^, c'est-à-dire, finalement,

I x'' cosx dx:= sin x[x'*— iix--^ 24] -1- \x cosj7[j:-— 6] h- C.

Cas particuliers des intégrales définies (').