Soit, en dernier lieu

Jco^x dx.

On aura d'abord

I cosx dx ^= smx -h C;

puis,

/ cos.r <Yj: = sin,a7, — sin^r,,.

Si l'on fait tendre maintenant x^ vers l'infini, la valeur de sin^i ne peut tendre vers aucune limite déterminée. La valeur de l'intégrale

/ cosxdx est donc elle-même complètement indéterminée.

790. II. La fonctiox dérivée placée sous le signe ; peut devemu

INFINIE POUR l'une DES LIMITES DE l'i.NTÉGRALE OU ENTRE SES LIMITES.

Supposons d'abord que la fonction dérivée f{x) demeure finie pour les valeurs de x comprises entre les limites ^o et x^, mais qu'elle devienne infinie pour x^x^. La valeur correspondante de l'intégrale peut être alors finie, infinie ou indéterminée.

En supposant toujours x^^Xq et en désignant par s un infiniment petit positif, on pourra poser

f{x)dxT^\h\\ I f{x)dx [poars:=o].

Si la fonction/( j) devient, au contraire, infinie pour x = x^, on pourra écrire d'une manière analogue

/ f{x)dx =^\\m j f(x)dx [pourî = o].

•^.r„ «".ro + E

791. Supposons, en second lieu, c|ue la fonction /(j:-) devienne infinie pour une certaine valeur de x comprise entre les deux limites ^o et Xi de l'intégrale. Cette dernière peut alors être finie, infinie ou indéterminée.

En désignant par X la valeur de x qui rend, dans l'intervalle {xq, Xi), f{x) infinie, nous pourrons écrire, d'une manière générale et d'après un théorème démontré précédemment (7G3, 4°),

/ /('^)^'^= / f{x)dx -h I /{x)dx.

Comme on a, par hypothèse, /(X) ^oo, il faudra chercher les limites des intégrales du second membre d'après les indications données au n" 790. En désignant par s et par yj deux infiniment petits positifs, sans corrélation aucune, nous poserons donc

/ /{x)dx z=V\m I f{x)dx [pour£ = o]

/ f{x)dx ^=Um I f{x)dx [pouryi = o].

"X «^X+Yl

ALGÈBUE SfPÉRIEtr.n. 6g'j

La somme des deux limites obtenues fera connaître la valeur de l'intégrale proposée.