Soit, encore, l'inlégrale
On a, comme on le sait,
d'où
dx
Ix-i-C,
-^'^dx
Si les deux limites sont de même signe, il n'y a aucune difficulté; mais, si elles sont de signes contraires, le second membre se présente sous forme imaginaire. Nous nous trouvons dans le même cas d'exception ; car, dans l'intervalle de ces
deux limites de signes contraires, la fonction /(^) = - passe
nécessairement par l'infini pour x =zo.
Pour bien faire apparaître la différence de signes des deux limites, nous désignerons par x^ et par Xi deux nombres positifs et, pour lever la difficulté, nous poserons (T91)
e et Yi étant des infiniment petits arbitraires, sans aucune corrélation.
Un aura alors
r^~'-dx ,0 — £ £
lim / - = / -=/ —
r'' dx j'i .r,
im / — = / = / —
I X O 4- Ti Ti
,. r dx
lim La somme des deux limites sera donc
Mais, e eir, étant arljitraires, leur rapport est indéterminé, et l'intégrale proposée a elle-même une valeur indéterminée.
ALGÈBTIE SUPÉRIEURE.
Si l'on suppose e == yj, on a /- = l iz=o, et la valeur de l'in-
légrale se réduit à /—' • C'est ce que Caucuy appelle, dans les
cas analogues, la valeur principale de l'intégrale indéterminée.
Cette valeur principale a donc pour expression générale (791)
lim
' f{x)dx^- i f{x)clx
Nouvelle démonstration de la série de Taylor.
794. Les propriétés des intégrales définies et l'application du procédé d'intégration par parties (781) conduisent à une démonstration simple et élégante de la série de Taylor (673).
Soient, en effet, x et h deux quantités données et t une variable. Considérons la fonction
et supposons-la continue, ainsi que ses n-\-i premières dérivées, pour les valeurs de t comprises entre o et /«; ce qui revient à dire que/(cc) et ses n +i premières dérivées sont continues dans l'intervalle {x, ^ -t- h).
La différentielle def{x-\-h — t) par rapport à f étant égale
— /'(^4-A — t)dt,
nous aurons, identiquement (763, 2")
Oh
{x-^ h — t)dt= / f{x + li — t)dt=f{x + h)—f{x\
Cela posé, si l'on veut appliquer l'intégration par parties (781) à l'expression
f f'{x + h — t)dt,
on aura ici u=/'{x-]- h — t), i>=t, du^=.—f"{x-\-h — t)dt.
nOO ALGEBRE SUPERIEURE.
et il viendra, par suite,
C f'{x-{-h — t)dt=tJ'{x + h — t) + j tf"{x^h — t)
dl.
En opérant de même pour l'intégrale du second membre ei en poursuivant l'application de la méthode, on aura, successivement,
r tf"{x^h — t)dt= —/"(x^/i — t)— f ~f"\x-^h—t)dt,
r' JL f'i^ ^ h - t)dt = -^ f"{x -^ h - 1)^ Ç JL-p^{x + h-t)dt,
f"(x-T-/i — t)dt = f"(x-r-/i — t)-h / f"^\x-^/i~t)dt.
Ajoutons toutes ces égalités membre à membre. Nous aurons, en siai{)litiant,
' f'(x-h/i — t)dt=^ - f'(x-^h—t)-\ f"(x^h — t)-\ -f"'{x^/i — t) + ..
fil r^ t'i
H f"(x-i-/i — t)-h i r f"+Ux-h/i — t)dt.
l.2.3.../^' Jg 1.2.3.../^
En faisant t:=h dans celte égalité résultante et en tenant compte de l'identité (i), il viendra évidemment
-i f"(x)~ ^ ; f'^'^Hx^ h — t^f^dt.
Pour que ce développement coïncide exactement avec la série de Taylor (675), il faut et il suffit que les conditions relatives à la continuité soient remplies, et que le reste R ou le dernier terme du second membre de la formule (2) tende vers zéro autant qu'on voudra à mesure que n augmente.
Si l'on désigne par M la plus grande valeur et par m la plus petite valeur que prend la dérivée continue /"-^^{x -^ h — t),
ALGEBRE SUPERIEUnE. 'jOl
quand t varie de o à h, on a nécessairement
R < 5 / Mt'Ult<
et
m II"
La véritable valeur de R correspondra donc à une valeur de /""*"' (.r + /i — t) telle, que t soit compris entre o et A et égal h h — 9h, en désignant par 0 une certaine fraction positive, et l'on trouvera ainsi, comme précédemment (677),
ce qui achève la démonstration.
Intégration par séries.
795. Le développement d'une intégrale en série convergente repose sur le théorème fondamental suivant :
Si une série
dont les termes sont des fondions continues de la variable .r. est convergente pour toutes les valeurs de x comprises dans l'intervalle {x^, x^), et sif{x) représente sa limite, la série
I Ugdx -\- I Uidx-h I u^dv -\- . . .
