! (ix- 4- / Py, tdx

est aussi convergente dans le même intervalle, et elle a pour

/{x) dx.

En effet, puisque, sous les conditions indiquées, on a, pour toutes les valeurs de x comprises dans l'intervalle {xq, Xi),

ro2 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

et R„ tendant vers zéro à mesure que n augmente,

on a aussi (771), en multipliant par dx et en intégrant entre les limites ^r^ et œ^,

D'ailleurs, si l'on représente par e un infiniment petit, on pourra toujours poser, par hypothèse et pour n assez grand,

et, par suite,

/Rndx <i j zdx<Zt{x^ — Xf,)

Le dernier terme du second membre de la relation (2) devient donc nul à son tour pour n infini, et l'on a rigoureusement

J^-^'l /-k*'*^! ri^x /^-^I

' f{x)dx^l u^dx -r- I Uidx-T-I u=,dx-h.... ■r-o "^■■^0 "-^-u «^J^o

796. Si la série (i) [795], convergente pour toutes les valeurs de X comprises entre x^ et Xi, devenait divergente pour 37 = ^1, la formule (3) serait encore vraie pour x^zx^ — z, en supposant x^^ x^ et en désignant par £ un infiniment petit positif. En faisant tendre £ vers zéro, la formule (3) subsisterait toujours, pourvu que la série (2) demeurât convergente. En effet, ses deux membres représentant alors des fonctions continues de x qui ont constamment la même valeur, leurs limites, pour s := o ou pour x = x^, seraient encore égales.

797. Il résulte du théorème précédent (79o) que, si la formule de Maclaurin (68i) donne pour /(a;) une série convergente telle que

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. '"oS

on pourra, en multipliant de part et d'autre par fl^>r et en intégrant, en déduire l'intégrale indéfinie

Si l'on veut que l'intégrale soit nulle pour x^=o, il en résultera C =o, et l'on aura (762)

798. Nous terminerons ces notions par quelques exemples. i" La division donne (ii)

=r I — X -\- X- — X^ -\- . . .± X"' ZIl )

et la série du second membre est convergente tant que x est moindre que i en valeur absolue. En multipliant par dx et en intégrant, il vient

dx ,, , x^ x^ x'*

Z=l{l-i-x)=lX h-^ y-

x"-'^^ dx

Tant que la valeur de x reste comprise entre — i et 4- i, on a donc (G96)

-^■i /y*0 /yt-¥

2° La division donne également

et la série du second membre est convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et 4-1. En multipliant par dx, en intégrant, et en prenant pour arc tanga^ le plus

yo4 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

petit des arcs positifs qui ont jc- pour tangente, on a donc

dx x^ a:'' x"'

= arc tang j? = x — -h h.

Tant que la valeur de x reste comprise entre — i et + 1, on peut écrire, par suite (70i),

arctangj:- = x ^ -^ '— 1-....

3° La formule du binôme (G9I ) donne, en supposant r compris entre — i et +i, la série convergente

En multipliant par dx et en intégrant les deux membres de cette relation, il vient

Ce développement est applicable tant que x reste compris entre — i et +1 et, même, pour x^=^±\, en raison de la remarque faite au n° 796, parce que, bien que la première série devienne alors divergente (692), la seconde série demeure convergente {}). On aura ainsi, en faisant x-=^ i dans le développement trouvé et en prenant pour arcsinx le plus petit arc positif qui réponde à cette condition,