THÉORÈME DE DUHAMEL SUR LES SÉRIES A TERMES POSITIFS

Nous avons vu (371 à 375) que le théorème usuel sur la convergence des séries à termes positifs, fondé sur l'examen du rapport d'un terme au précédent, est en défaut lorsque ce rapport, tout en ayant pour limite l'unité, finit par rester constamment inférieur à sa limite.

Le théorème de Duhamel permet, en général, de résoudre cette difiBculté, et devient ainsi le complément nécessaire du premier théorème, bien qu'il présente, lui aussi, un cas douteux.

Soit la série (U) à termes positifs

Admettons qu'on ait

Un

et que le rapport -^^' demeure constamment inférieur à l'unité, à partir d'un certain rang. On peut alors mettre ce rapport sous la forme

% étant un infiniment petit positif (336).

Cela posé, la série (U) at convergente ou divergente, selon que la limite du produit n a est supérieure ou inférieure à l 'unité'. Si la limite du produit n % est e'gale à l'unité' et si ce produit, à partir d'un certain rang, reste inférieur à sa limite, la série est divergente.

1° Supposons d'abord

lim/ia = k et /i > I.

Si m est une quantité quelconque, mais déterminée, comprise entre i

'JÔO KOTE.

el Je et. par suite, plus grande que i, on a évidemment (G91)

/ 1 '" m I in(m — i) i in(in — \)(m — 2) i

\ Il ) ~ ' i II ' I.-2 n- ' 1.2.3 n^

en désignant par 0 une quantité qui tend vers zéro, à mesure que n augmente.

Pour qu'on ait, à partir d'une certaine valeur de n,

(I) ■ ,^a>fl-r-^

il suffit donc qu'on ait

1+ a> H fi-4- û),

c'est-à-dire

(2) a>— (1-+-8) ou «a>TO(n-o).

Or, à mesure que ?i augmente, le premier membre de la dernière inégalité tend, par hypothèse, \ers k qui est plus grand que m, tandis que le second membre tend vers m, puisque 0 tend vers zéro. Par conséquent, à partir d'une valeur déterminée de n, l'inégalité (i) sera satisfaite. D'ailleurs, cette inégalité revient à

ou a

Un I I H

Si l'on considère alors la série (V) III I

qui est convergente (377, 3°), puisque m est plus grand que i, 0:1 voit que, dans cette série, le rapport -^* d'un terme au précédent a pour expression générale