MÉTHODE DES COEFFICIENTS INDÉTERMINÉS
25. On a souvent, en Algèbre, à trouver une fonction de x ou un polynôme ordonné par rapport à x, dont la forme est connue, mais dont certains coefficients sont inconnus ou restent à déterminer.
La marche la plus simple et la plus naturelle consiste à écrire ce polynôme, en représentant les coefficients inconnus par des lettres; puis à exprimer, d'après les propriétés du polynôme cherché, les conditions auxriuelles il doit satisfaire. On obtient ainsi des équations renfermant, comme autant d'inconnues, les coefficients à déterminer et, quelquefois, le degré même du polynôme. Le problème posé est alors ramené à la résolution de ces équations.
Cette méthode, très féconde et souvent employée dans l'Algèbre supérieure, est due à Descartes; elle porte le nom de méthode des coefficients indéterminés.
Pour en bien faire ressortir l'esprit, nous allons l'appliquer à quelques exenqjles.
Application à la division des polynômes.
26. Supposons d'abord qu'on veuille trouver le quotient de deux polynômes et le reste de leur division. Soient le dividende de degré m
(i) Xç.x"' + kyx'"-^ ^ k.x""-- ^ . . .-I-A„;i^ + A,„
et le diviseur
de degré n <. m.
On pourra poursuivre la division jusqu'à ce qu'on parvienne
ALGÈBRE SUPÉUIEURE. • 20
à un reste de degré inférieur au diviseur. Le reste sera donc de degré « — i. Quant au quotient, son premier terme provenant de la division du premier terme du dividende par le premier terme du diviseur, il sera du degré m — n.
Le quotient et le reste cherchés sont donc des polynômes de la forme
(3) a^x"'-"^ aiJ;'"-«-' + a2^-"'-'^-2 4-...4- a,„„iJ7+ a„,„ et
(4) 3oa^"-'+ 6,.r"-^+ ,3.,:r''-^-}-. . .^- ;3„.2J7 + ,3„,.
Les inconnues a^, a,, a,, . . ., a,„„; jS^, (3,, 3o, . . ., 3,j, sont les coefficients indéterminés , et, pour les trouver, il suffit d'exprimer que le dividende représente toujours identiquement (6, 18) le produit du diviseur par le quotient, augmenté du reste. Cette dernière somme réduite formera, par consé- (|uent, un polynôme qui sera la renroduclion, terme pour terme, du polynôme dividende; et, en exprimant celte identité, on ohtiendra les conditions nécessaires el suffisantes pour que le polynôme (3) soit le quotient et le polynôme (4) le reste de la division qu'on veut effectuei'.
On a évidemment m -+- i inconnues, et l'on sera conduit à écrire m 4- i équations du premier degré entre les inconnues.' la question est donc résolue,
•27. Si, au lieu de chercher le quotient et le reste de la di Àsion, on rlemnn<lait de trouver les conditions nécessaires et suffisantes poiu' que la division réussît exactement, il faudrait écrire que le reste est identiquement nul, c'est-à-dire que tous ses coefficients sont égaux à zéro (17); en d'autres termes, on se contenterait d'égaler identiquement le rlividende au produit du diviseur par le quotient.
On aurait toujours ainsi m -f- i équations; mais elles ne renfermeraient plus que ni^n-^-\ inconnues «„, sci, a,, . . ., y.,n-n, puisfiue les coefficients 3o, (3,, (S^, ..., 3„, du reste disparaissent comme nuls. Les m -r- 1 équations posées détermineraient donc les m — n -\- i inconnues, en donnant en outre n équations de condition {Ali;, éléni., p. 1^6) entre les eoefticienls Ao, Aj, A,, . . ., A,„ du dividende et les coefficients B„, Bi, B,, . . ., B„ du diviseur; et l'on ohliendrait ces équations de condition en éliminant entre les m + i équalions
^4 ALCrUIlE Sri'KillFA RR.
fl'idenlité les m — /t+i coeflicieiits «o, a,, «o, .... c^,„-„ ilii f|uotient.
EKKMI'I.ES.
!^8. 1° Trouver, par la méthode des coefficients iiidéteriiiiiic\ , /:■ q/iolie/it et le reste de la dUision des deiL€ polynômes
ix'* — 7 JC' -T- 6 .r- -^ 4 ■■'^ — ^ G' ■^' — 5.r-i-i.
Le quotient sera du second degré et le reste du premier; on pourra doue les représenter par les expressions
ao-r^-l- a,,r -+- aj el jjQ.r-i-Pi.
On devra avoir identiquement
= (.r2 — 5.r -I- Ofao.r'-t- a,.r -l- a.,)-4- ^O'^^ -l- 3i.
Le second membre, développé et réduit, est le [lolynôme ao.r'-r- (a, — jau)./-'
+ ( a., — j a, H- ao j.rï -^ ( ^o — ^ '^2 + ^^i )•■'• -+- /, -h 7..,. Il doit être identique au premier membre, et Ton a le.-^ n-lalions
ao = 2. ai — 5^0 = — 7, a-i — ja, -;-ay=G, 3o — 5a2-Hai = 4, 2i-+-o(2 = — 3.
Il suffit de résoudre ces équations du premier degré. On le fait 1res siin|)lemenl,en remarquant que la première équation ne contient ipie a,; «0 étant connu, la deuxième équation permet de trcniver immédiatement ai; ao et ai étant déterminés, la troisième équation do:ine a^, el ainsi de suite.
On trouve successivement
ao=2, ai = 3, «2=19, Po=9^' 3, = — 22.
Le quotient cherctié est donc
et le reste correspondant
comme il est facile de le vérifier directement.
29 2" Cliercher les conditions pour que le polynôme Xqx'*-^ Ai-c^-H A2-r2-i- A3.r-4- A4 soit exactement divisible par le polynôme
B x''--^M^.r-^ Do.
AJ.f;i;i;ii:: simckiki uk.
Il suffit (27) d'égaler ideiUiqueinenl le dividende au produit du diviseur par le quolienl inconnu, qui esl de la forme
Ce produit ayant pour expression
aJ'.o.ri--(a,Bi-a,Bo)./'^
-r-( aoiîs^- a, B| -T- aoBo j.r2-t-(a, Bo-i- a, Ci).r -+- ^iH,.
les équations d'identité seront
a,, Bo = Ao, aoBi -f- a, Bo = A]. Xq Bo -H a, Bj + a^Bo = A-..
aiB.-f-a,Bi = A3, a2B.,:^A4.
On n'a pour obtenir les conditions demandées, qu'à éliminer ao. a,. -/■, Ciitre ces équations. Les trois premières donnent d'abord
A,B..-Ae.B,
A,Bj - A, BoB, -+- AoBï - A„BnB,
ce qui détermine le quotient. Puis, en subsliluanl les valeurs de a^. X]. i-i dans les deux dernières équations d'identité, on obtient finalement, pour les conditions cliercliées,
(F) AoB,[Bf--2BJ5,|-A,B„[i5'y — Bon2]-A.2B,;B,-A.Jî;î=o. (■2) AuB2[Bï— B„B.]- AiB„B,B.,4-A.2BîBo-AiB,' = o.
Reiuar(]ue.
30. La méthode des coefficients indéterminés intcrvicni, comme nous le verrons par la suite, dans un pi-aml nombre <1<' riMOstions.
Toutes les fois que la forme des fonctions chercliées est connue d'avance, aucune difliculté ne peut se présenter.
Mais, si cette forme n'est pas explicitement tlonnée par la nature de la question et si on l'admet arbitrairement ou d'une manière intuitive, il faut, après avoir déterminé les coeflicients inconnus, prouver non seulement qu'ils satisfont bien à la qu(^s(ion proposée, mais encore établir que cette question ne eoinporle pas d'autres solulions.
^^' ALG£BI;E SL'PÉI!I1:UUE.
En elfet, un problème n'est complètement résolu que lorsqu on s'est assuré que les solutions obtenues renferment sans solutions étrangères, toutes celles que la question peut rece-
voir
Cetl^e vérification, souvent assez pénible, est quelquefois très ditticile, sinon impossible; mais on doit toujours la tenter.
ALGEBRE SUPKUIELR:
