PREMIERS PRINCIPES DE LA THÉORIE DES DÉTERMINANTS

Définitions préliminaires.

31. On entend par permutations de n qiianfilés, représentées par les lettres

a,, f/j, fls, ..., a„,

les dispositions qu'on peut obtenir en plaçant ces quantités ou en écrivant ces lettres à la suite les unes des autres de toutes les manières possibles. Ces quantités ou ces lettres constituent les élément!: de la pernuitation.

On peut, dans une permutation quelconque, coinjiai'er chaque lettre à toutes les lettres cpii la suivent. On dit alors qu'il y a dérangement ou inversion chaque lois que les indices des lettres comparées ne se présentent pas dans leur ordre naturel de grandeur croissante, c'est-à-dire chaque fois que le premier indice est plus grand (|ue le second.

Par exemple, la permutation «.^a, a, olîre deux inversions, l'une de a^ à a,, et l'autre de a^ à r/,, tandis qu'elle n'en oiïre pas deaj à a^. De même, la permutation a^a^a:, n'oiïrc qu'«/^e seule inversion, de a, à a^.

Los permutations qui contiennent un nombre pair d'inversions sont regardées comme positives, cl elles sont de la première classe; les permutations (|ui contiennent un nombre impair d'inversions sont regardées comme négatives, et elles sont de la seconde classe. C'est, en réalité, donner à cha{)ue permutation le signe du produit formé par les dilTérences qu'on obtient en retranchant l'indice de chaque élément des indices des éléments suivants; car, à chaque inversion, et seulement à chaque inveision, correspond alors une diHércnce négative.

a8 ALr,i:i!lîK .SVl'F.UIF.L KE.

32. PRiNcrPE FONDAitiE.NTAL. — Lofsque, claiis une permuiation, on échange deux lettres ou deux éléments, la perniutationchange de signe ou de classe.

Remarquons d'al ord que, lorsqu'on échange deux élémenls consécutifs d'une permutation, elle change nécessairement de signe.

En elfel, si l'on échange deux éléments consécutifs tels que «a et a^, les indices des éléments qui précèdent et qui suivent les deux éléments considérés conservent la même relation de grandeur avec a et avec [3. Le nomhre des inversions ne peut donc être modifié que de «a à aa,.

Or, si ces deux éléments présentent d'ahord une inversion, ils n'en présentent plus après leur échange ou réciproquement. Le nomhre total des inversions varie donc seulement d'une unité, c'est-à-dire de pair devient impair ou réciproquement, et la permutation change de signe (31).

Cela posé, admettons qu'on veuille échanger les deux éléments quelconques a^ et «/, et désignons par n le nombre des éléments qu'ils comprennent entre eux.

On peu! alors amener a^ immédiatement avant «/ par n échanges consécutifs, puis a/à la place occupée précédemment i)ar Uii par («-i-i) échanges consécutifs; car il en faut un de plus pour amener d'ahord ai avant a^- On passe ainsi de la permutation donnée à la permutation voulue, en faisant subir successivement à la première (2«-{-i) changements de signe; {in-\-\) étant un nombre impair, les deux permutations considérées sont, en définitive, de signes contraires.

33. La démonstration précédente prouve en même temps que les permutations positives et négatives de n éléments sont toujours en même nombre.

En effet, à la permutation qui contient a^ et a./ dans l'ordre . . . a/,. . . a/ . . ., répond toujours une autre permutation qui contient les mêmes éléments dans l'ordre inverse ...«/...a/j..., sans autre changement; et ces deux permutations sont de signes contraires, d'après le théorème qu'on vient d'établir.

34. Étant donnée une disposition quelconque, si l'on fait passer le premier élément au dernier rang, sans aucun autre

ALGÈURE SUPÉUIETJKE.

changement, on soumet celle tlisposilion à ce qu'on appelle nwQ permutation circulaire {^Hg- éléni., 138).

Si la disposition donnée renferme n éléments, on peut produire la permutation circulaire à Taide de « — i échanges consécutifs. Par conséquent, le signe de la disposition ne change que dans le cas oîi n est pair (32); en d'autres ternies, la disposition primitive se trouve multipliée par ( — 1)"~^

Des déterminants.

35. C'est en chercliant à résoudre d'une manière générale les systèmes d'équations linéaires qu'on a été conduit à l'étude des déterminants.

Le dénominateur commun des formules générales de résolution d'un système d'équations du premier degré contenant le même nombre d'inconnues a été appelé (nous verrons pourquoi) \q. déterminant de ce système d'équations.

On le forme donc, dans le cas d'un système de deux ou de trois équations, comme il a été dit {Alg. élém., 14-8, 135).

Si l'on a à opérer sur un système de quatre équations à quatre inconnues, on suit la marche indiquée {A/g. élém., Hiï).

La même loi s'applique à la formation du déterminant d'un systèine de n équations à n inconnues. II suffit de connaître celui de n — i équations à n — i inconnues.

36. 11 est d'ailleurs prélérahle de définir directement les déterminants, indépendamment des considérations précéd(Mites.

Soit l'expression

al .

.. al

al

al

qui représente le déterminant du «'«"'« ordre ou du /i"^^" « degré (parce que tous ses termes sont du /i'"'"" degré).

Elle est composée de n lignes horizontales ou de n colonncs verticales, c'est-à-dire de n- éléments.

3o AIX.ÈBUE SUPÉRIEURE.

Chaque lettre est affectée de deux indices. L'indice inférieur marque la ligne où se trouve l'élément, l'indice supérieur indique la colonne à laquelle il appartient.

Multiplions entre eux les éléments qui constituent la diagonale du carré figuré par l'expression, en parlant du sommet supérieur de gauche et en descendant jusqu'au sommet inférieur de droite. Nous obtiendrons le produit

qui ne présente aucune inversion par rapport aux indices inférieurs ou supérieurs et qui a toujours le signe +.

Ce produit est le premier terme du déterminant ou son terme principal.

Si, dans ce ternie principal, nous laissons les indices inférieurs SSxq%, en permutant (31) les indices 5;//>e/7e«/-5, n^tis obtiendrons tous les autres termes du déterminant. Ces termes seront positifs ou négatifs, suivant que la permutation correspondante des indices supérieurs sera de la première ou de la seconde classe, c'est-à-dire présentera un nombre pair ou impair d'inversions (31).

Le déterminant du /i'*""" ordre ou du /<'«•"" degré est donc la somme des produits qu'on forme en associant, de toutes les manières possibles, n quelconques des n- éléments donnés, à la condition, toutefois, puisque tous les indices inférieurs doivent rester différents aussi bien que tous les indices supérieurs, qu'un même produit ne contienne jamais deux éléments appartenant à la même ligne ou à la môme colonne, et que son signe satisfasse à la définition rappelée.

En résumé, on obtient les différents termes du déterminant en prenant comme facteurs, de tou'.es les manières possibles, un élément, et un seul, dans chaque ligne ou dans cliajue colonne, et en suivant la règle adoptée pour les sig/œs (31).

On voit que, parmi les termes d'un déterminant, on n'en peut jamais trouver deux cjui soient égaux et de signes contraires, tant qu'aucune relation spéciale n'est imposée aux cléments considérés : il n'y a donc pas alors de réduction.

37. Nous venons d'indiquer comment on déduit un déterminant de son terme principal, en laissant fixes les indices inférieurs, et en permutant les indices supérieurs.

ALGEBRE SUPERIEURE. Ôl

Si l'on permute, au contraire, les indices inférieurs, eu laissant fixes les indices supérieurs, il est essentiel de montrer que l'on trouve le même déterminant.

En eiïet, dans le premier déterminant formé, les indices inférieurs étant écrits dans l'ordre i, 2, 3, ..., n, ne présentent aucune inversion, de sorte que ces indices constituent une permutation de la première classe (31). On peut donc dire que, dans ce premier déterminant, les termes sont [)Ositifs ou négatifs suivant que la permutation des indices inférieurs et celle des indices supérieurs sont ou non de la même classe.

Mais, pour passer au deuxième déterminant, où les indices supérieurs doivent à leur tour présenter d'une manière fixe l'ordre 1, 2, 3, ...,«, il suffit évidemment d'échanger convenablement les facteurs des termes du premier déterminaul.

Les termes des deux déterminants sont donc d'abord égaux comme composés des mêmes facteurs.

Les signes des termes égaux sout d'ailleurs les mêmes; car les échanges successifs indiqués modifient, à la fois, la classe de permutation des indices inférieurs et celle des indices supérieurs (32). Par conséquent, les deux permutations, des indices inférieurs d'une part et des indices supérieurs d'autre pari, demeurent respectivement ce qu'elles étaient dans la premier déterminant, de même classe ou déclasse diiïérentc, de sorte que les termes comparés des deux déteruiiuants conservent aussi le même signe.

La démonstration qu'on vient de donner signifie au loud que tout ce qui est vrai pour les lignes est également véiilié pour les colonnes, et inversement.

38. Le nombre des termes du déterminant du lO''"" ordre est, d'a[)rès la loi de formation indiquée (36 et 37), égal au nombre de peruiulations des n indices supérieurs ou des n indices inférieurs, ou de n quantités quelconcpies. Nous savons déjà (/l/i,'. élém., 4.08) que ce nombre est égal au i)ruduil 1 . 2 . 3 . . . rt des n premiers nombres.

Ce détermiuant renferme autant de termes positifs que de termes négatifs (33).

3!). On indique, le plus souvent, un déterminant en limitant par deux traits verticaux le système des éléments, ou

ALGEBUK SI Hi:illi;i HE.

'bien en plaçant sous le signe 1, avec un double signe, le ternie principal (30). On a ainsi, \nmv le délermiiiant du deuxième ordre,

a\ar, — a\ al.

et, pour le déterminant du troisième ordre,

aa\ al

a\ a :, c/a\a\al

a\a), ai «1 al al.

Si l'on voulait permuter les indices inférieurs au lieu des indices supérieurs, on aurait identiquement, pour le déterininant du deuxième ordre et pour celui du troisième ordre.

al

al

a[ al al

• ^: 2. zL a : a ':, ::^ a \ a ]

al al

--=1 a \ a'ia^ — a \ a'- al -+- a^ a'- al — a\a\a\ h- ala\a\ — a\ a\a\.

\0. Au lieu de distinguer les deux indices de chaque lettre en indice inférieur et indice supérieur, on peut les écrire horizontalement à côté l'un de l'autre, en les séparant par une virgule, quand on peut craindre qu'il n'y ait confusion avec les exposants. Le terme principal du déterminant prend alors la forme

Le premier indice répond à la ligne; le second, à la colonne. Nous croyons la première notation plus rapide et plus expressive.

VI. On peut aussi conserver les indices inférieurs en changeant les lettres d'une colonne à l'autre du déterminant. L'indice correspond alors à la ligne, et la lettre à la colonne

ALGEBRE SUPElilEUUE.

occupée par l'élcment. On emploie très souvent cette notation.

L'expression du déterminant du /i^"^"™^ ordre devient, dans ce cas,

r/2 l>i c, ... 4 I «3 fh Cs ... /s ,

I "« "/i ^ Il

et il a pour terme principal le produit

«iZ^jCj. . . /„.

On déduit, comme précédemment, tous les termes du déterminant de ce terme principal, en laissant les indices invariables et en permutant les lettres de toutes les manières ()ossibles. L'ordre régulier des lettres est l'ordre a, />, c, . . ., /. Tl y a inversion quand cet ordre est modifié d'une lettre à une des lettres suivantes. Le terme considéré QS,\positifo\\ négatij, suivant qu'il présente un nombre yjaiV- ou i'myjai/- d'inversions.

kl. Il est bien entendu que, une fois le déterminant formé d'après les règles précédentes, on peut en écrire les dillérents termes dans tel ordre qu'on veut, ainsi que les facteurs de ces termes.

Il es! important d'ajouter (jue les éléments du déterminant peuvent être représentés d'une manière tout à fait quelconque, c'est-à-dire indépendamment de toute notation régidière, sans que ces mômes règles, qui se rapportent simplement au\ langs des lignes et des colonnes, soient modifiées.

h'i. Etant donné, d'une manière générale, le déterminant d'ordre ou de degré n, il est facile d'en déduire le déterminant (l'ordre ou de degré « + i.

Soit

T = ± ajj'^c^. . . Il

un terme quelconque du déterminant d'ordre n. Désignons parm|A un /«owre/ élément quelconque du déterminant d'ordre /< + i. Si nous l'écrivons à la suite des facteurs (|ui composent T, nous obtiendrons évidemment un terme T' du déteri)K C. — Cours, m. 3

minant qu'on veut former, et ce terme aura pour expression

T' = ± «a ^p Cy . . . /), /«p..

Son signe sera le même que celui deT, puisque aucune nouvelle inversion n'a été introduite dans T'.

Si l'on fait passer le facteur m^, successivement du dernier rang au premier, en modifiant à chaque fois le signe du produit (32), on obtient successivement des termes du nouveau déterminant avec leurs signes. Le nombre total des termes ainsi formés est évidemment « + i .

En opérant de même pour tous les termes du déterminant du n'^™^ ordre, en nombre égal à i.2.3.../ï (38), on forme tous les termes du déterminant du {n + i)''^"»" ordre, en nombre égal à 1 .2. . .n(rt + i).

Cette remarque concorde avec la première définition des déterminants et la première loi de formation indiquée (35).

Déterminants mineurs.

kï. On désigne souvent un déterminant dans son ensemble par la lettre A.

Loi'squ'on supprime dans un déterminant A plusieurs lignes et un même nombre de colonnes, le déterminant formé par les lignes et les colonnes conservées est un déterminant mineiir du déterminant donné. L'ordre d'un déterminant mineur dépend du nombre des lignes ou des colonnes supprimées.

Si le déterminant A est de l'ordre ou du degré n et si l'on y supprime une ligne «j et une colonne (3,^ le déterminant mineur correspondant, qui est évidemment de l'ordre ou du degré n — i, est dit de première classe. On peut le représenter par la notation A^|, qui veut dire : déterminant A oii l'on a supprimé la ligne «i et la colonne [3i.

Si l'on supprime dans A deux lignes a,, a, et deux colonnes 3i, Pï, le déterminant mineur correspondant, qui est de l'ordre ou du degré n — 2, est dit de deiijcième classe. On peut le représenter par la notation A^|^^;.

D'une manière générale, si l'on supprime dans A un nombre p de lignes ai, «2» •••) «/> et un nombre/? de colonnes (3,, ^2, ..., j3p, le déterminant mineur correspondant est de l'ordre ou du

ALGEBRE SUPERIEURE.

degré n — p, et il est de la /''•^'"^ classe. On peut le représenter par la notation expressive Aj^'J] "^p.

En ajoutant l'ordre et la classe d'un déterminant mineur, on reproduit toujours l'ordre du déterminant primitif.

Propriétés générales des déterminants.

ko. I. Un déterminant ne change pas quand on y substitue les lignes aux colonnes et les colonnes aux lignes.

On a alors, en effet, à comparer les deux déterminants

et

Cj C-2 Cj

Or la diagonale du carré des éléments reste la même dans ces deux déterminants; ils ont donc même terme principal et sont identiques d'après la loi de formation indiquée (36).

Ce théorème se confond, en réalité, avec la proposition du n° 37 et montre de nouveau que tout ce qui peut se dire des lignes s'ap|)lique aux colonnes, et inversement.

40. 11. Oiiand on échange, dans un déterminant, deux lignes entre elles ou deux colonnes entre elles, ce déterminant est multiplié par — i.

En effet, cette modification revient à échanger, dans chaque terme du déterminant, deux indices ou deux lettres (36, 37, 41); par suite, la permutation représentée par chaque terme doit elle-même changer de classe ou de joigne (32).

Tous les termes du déterminant changeant de signe, sa valeiH' est bien multipliée par — i.

47. 111. Lorsqu'un déterminant présente deux lignes ou deux colonnes identiques, ce déterminant est égal à zéro.

En effet, si l'on échange les deux lignes ou les deux colonnes identiques, le déterminant reste à la fois identique à luimême, et sa valeur 1 est multipliée par — i (46). Celte valeur

est donc nécessairement nulle; car, de

on déduit

2A ^ o ou \:=0.

48. IV. Théorème fondamental. — Tout déterminant est une fonction linéaire et homogène des éléments d'une même ligne ou d'une même colonne, et, par suite, on peut toujours l'ordonner suivant les éléments de cette ligne ou de cette colonne.

En effet, chaque terme du déterminant contenant, par définition (36), un élément de chaque ligne ou de chaque colonne, et un seul, ce déterminant est une fonction linéaire (c'està-dire du premier degré) des éléments d'une môme ligne ou d'une môme colonne, choisie à volonté. De plus, chaque terme étant du premier degré par rapport à l'élément de la ligne ou de la colonne désignée qu'il renferme, le déterminant est luimême une fonction homogène de ces éléments.

Cela posé, en mettant en évidence, dans chaque terme, l'élément qui appartient à la ligne ou à la colonne choisie, on pourra ordonner le déterminant suivant les éléments de cette ligne ou de celte colonne.

Soit, par exemple, le déterminant du troisième ordre

«1 ^1 Cl

a, bo c, «3 b-i c-i \

En choisissant comme éléments ordonnateurs ceux de la première colonne, on peut l'écrire sous la forme.

Aucun des coefficients A,, Aj, A3 ne peut contenir l'élcnientqui le multiplie (36).

Il reste à trouver la loi de formation de ces coefficients.

49. Prenons, pour plus de généralité, le déterminant du ,jiLme ordre ou du n'^""^ degré, ordonné par rapport aux éléments de la première colonne. Il aura alors pour expression

Ai(7i-f- A,a2-t-A3(7;j4-. . .-f-A,., a,(.

Tous les termes du déterminant qui contiennent a,, par

AT.CÈCRK SUVÉRIFUUF. 3^

o\(Mnple, ne peuvent contenir aucun autre élément de la première ligne et de la première colonne dont «i fait à la fois partie (36). Dans ces différents termes, «, doit donc être multiplié par toutes les dispositions possibles de n — i éléments choisis dans les n — i autres lignes et dans les n — i autres colonnes. Or ces dispositions forment précisément le déterminant mineur du {n — \f"^^ ordre et de la première classe (iV), qu'on obtient en supprimant dans le déterminant considéré la première ligne et la pi'emière colonne; A, n'est donc autre chose que ce déterminant mineur.

En répétant le même raisonnement de proche en proche, on conclut que les éléments ordonnateurs ay, a^, a^, . . ., a„, ont respectivement pour coefficients A], A,, A3, . . ., A„, les déterminants mineurs de la première classe, qu'on déduit du déterminant proposé, en y supprimant successivement la ligne et la colonne qui se coupent sur l'élément ordonnateur considéré.

50. La nouvelle forme qu'on peut ainsi donner à un déterminimt conduit à des conséquences importantes.

Avani de les indiquer, nous écrirons les n valeurs du déterminant A ordonné successivement suivant les éléments des différentes colonnes. Ces valeurs seront

A = A , «I — \^a, -h A3 «3 -+-... 4- A„a,,, A = li, /.', + ]U ''2 -l- H363 + . . . + B„b„,

A=: CiC, + C.nC2 -t- C3C3 +. . .4- C„C,i,

Bi est le déterminant mineur de première classe obtenu en supprimant dans A la première ligne et la deuxième colonne qui se croisent sur 6,; C| est le déterminant mineur obtenu en supprimant dans A la première ligne et la troisième colonne ([ui se croisent sur Cj, ...; L, est le déterminant mineur obtenu en supprimant dans A la première ligne et la /jièmc colonne qui se croisent sur /,, et ainsi de suite.

On voit donc que les coloimes verticales qui apparaissent lorsqu'on écrit les équations précédentes les unes au-dessous des autres représenlent à leur toui' les valeurs du déterminant A, ordonné suivant les éléments des diflérentes lignes.

38 ALGÈBRE Srn'CRIEUEE.

Ces n valeurs sont donc

A = A^rto -4- Bj^, 4- C2C2 +. . .+ Lj/j,

51. V. Si, clans un déterminant, tous les éléments d'une même ligne ou d^une même colonne sont nuls, à l'exception d^un seul, le déterminant proposé est égal au produit de cet élément par le déterminant mineur qu'on obtient en supprimant la ligne et la colonne qui se croisent sur ledit élément.

Soit le déterminant

al .

al .

Supposons que, dans ce déterminant, tous les éléments de la ligne a soient nuls, excepté celui de la colonne (3.

D'une manière générale, si on veut l'ordonner suivant les éléments de la ligne a, on a, pour sa valeur, une expression de la forme (48, 49, 50)

A = K,«i-^K2a| + K3a| + . . . + K3a^ + . . .+ K„aï.

Or cette expression, où K,, Kg, K3, . . . , Kp, • • . , K„ représentent les déterminants mineurs de première classe qu'on obtient en supprimant successivement la ligne et la colonne qui se croisent sur les éléments a\, a\, a\, . . ., «^, . . ., a'^J, se réduit évidemment, d'après l'hypotlièse faite, à

II résulte immédiatement de ce théorème que tout déterminant peut être mis, si cela est nécessaire, sous la forme d'un déterminant d'un ordre plus élevé.

On a, par exemple,

a^ bi c,

«2 Z>2 Ci

az 63 C3

a?i «1 èj Cl

quelles que soient les valeurs données à a;^, x^, x-^.

52. VI. Lorsque tous les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne sont nuls, le déterminant a une valeur nulle.

Cette proposition résulte immédiatement de la précédente, comme celle-ci résulte du théorème fondamental du n» 48.

53. VII. Lorsque, dans un déterminant, tous les éléments situés d'un même côté de la diagonale du carré des éléments sont nuls, la valeur du déterminant se réduit à celle de son terme principal.

Pour le démontrer, il suffit d'écrire successivement, (l';iprès le théorème V (51 ),

b. Co ... L o c-i ... 4

= a,b.2C:i . . . In-

54. VIII. Lorsqu'on multiplie ou qu'on dirise par un même nombre tous les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne, la valeur du déterminant est multipliée ou divisée par ce nombre.

En effet, si l'on multiplie ou si l'on divise tous les éléments de la ligue a du délerminanl par un facteur />, la valeur A du

4o ALGEBIIF. SL'PKlilELRK.

(léicrminant, telle qu'on l'a écrite d'une manière générale au n" 51, est elle-même multipliée ou divisée par/?. Ce théorème entraîne les conséquences suivantes :

On ne change pas la valeur d'un déterminant en supprimant ou en introduisant un facteur commun aux éléments d'une même ligne ou d'une même colonne, pourvu quon mette ce facteur en évidence comme multiplicateur ou diviseur du déterminant.

En particulier, si Von change les signes de tous les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne, on change également le signe de la valeur du déterminant, puiscpie le facteur introduit est alors égal à — i. Donc, pour rendre au déterminant sa valeur primitive, il faut diviser ou multiplier par — I la valeur obtenue.

oo. IX. Lorsqu'un déterminant comprend deux lignes ou deux colonnes proportionnelles (c'est-à-dire composées d'éléments respectivement proportionnels), sa valeur est égale à zéro.

En effet, si le rapport des éléments de la première ligne considérée aux éléments correspondants de la seconde ligne est égal à p, on peut multiplier cette seconde ligne par p, pourvu qu'on divise la valeur du nouveau déterminant par ce même facteur (oi). Mais, dans le nouveau déterminant, la seconde ligne est devenue identique à la première : sa valeur est donc nulle (4-7), et il en est de même de celle du déterminant primilil".

56. X. Si les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne sont des sommes d'un même nombre de quantités, le déterminant proposé est la somme d'autant de déterminants que l'un de ces éléments contient de termes. Ces déterminants se forment en associant respectivement les différents termes des éléments de la ligne ou de la colonne composée avec les éléments des autres lignes ou des autres colonnes simples.

Ce théorème se démontre immédiatement en ordonnant le déterminant suivant les éléments de la ligne ou de la colonne composée, c'est-à-dire en se reportant au théorème fondamental (48, W).

ALGEBRE SUPERIEUUK.

On a, par exemple,

rtl-t- Al by Cj

«2 + k.2 b<, Cn

cti Oi c, «2 62 C2

A-, bi c, j /i-j ^2 ^2 ' /(-, /?. c, I

57. XI. 0/^ ne change pas la valeur d'un déterminant en ajoutant aux éléments d'une même ligne ou d'une même colonne ceux d'autres lignes ou d'autres colonnes respectivement multipliés par des facteurs constants.

On n'a, pour démonlrer cette proposition, qu'à réunir les ihéorèmes X et IX (56, 55).

On a, par exemple (56),

a, -4- mbi-i- pci

«2+ nib.y-ï- pc.

«3 -h mb-.-h pc^

mb^

bi