PC

bi

mb^

PCi

«3 bi C3

Ih

PCz

Les deux derniers déferminanls présentant deux colonnes proportionnelles ont des valeurs nulles (55), et l'énoncé est justifié.

Cet énoncé s'étend évidemment au cas où l'on modifie de la même manière plusieurs lignes ou plusieurs colonnes du déterminant, et à celui où les coefficients constants, tels que m et p, sont égaux à ±1 .

Il résulte encore du théorème qu'on vient de démonlrer que, si les éléments correspondants d'un certain nombre de lignes ou de colonnes sont liés, dans le déterminant proposé, par des relations linéaires et homogènes, ce déterminant est nul.

Admettons, en effet, que ces relations linéaires et homogènes soient précisément exprimées par les équations

a, -+- mbi H- pCi ^ o, «2 + m b.2 H- pC2 = o, «3+ mbr^-\- pc-^^=^o.

Le noiivjau déterminant, considéré ci-dessus et identique

au proposé, aura alors une colonne d'éléments nuls et sera nul (52), ainsi que le déterminant primitif

ai

58. XII. Lorsque deux déterminants ne diffèrent que par une ligne ou une colonne, on peut les réunir en un seul déterminant égal à leur somme ou à leur différence, en ajoutant ou en retranchant terme à terme les deux lignes ou les deux colonnes non identiques et en conservant toutes les autres.

C'est la réciproque du théorème X (56). Si l'on a, par exemple, les deux déterminants

«1 ^1 Cj «2 ^2 C.2

et

a, ^1 c, «2 b, Cj

qui ne diiïèrent que par leurs premières colonnes, on peut les ordonner respectivement (4-8, 4-9) suivant les éléments de celte première colonne et écrire, d'après la notation adoptée (4-4) et en désignant par A}, A^, A^ les déterminants mineurs de première classe obtenus en supprimant, dans les deux déterminants, la première colonne concurremment avec la première, la deuxième ou la troisième ligne,

D = aiA} H- a^îvl + a^k^, A = aiA} + a^kl -t-asAJ.

Il en résulte, en prenant ensemble les signes supérieurs et les signes inférieurs.

A = (a,±:a,)A} + (a2±:a2)A^ + (a3±a3)AJ,

c'est-à-dire

D-hA

et D — A

«1— a, 61 Cl rt, — y.i b^ C2 Uz— az 63 C3

ALGEBRE SUPERIEURE.

Loi d« formation d'un déterminant.