hib — 5 c
— ïa 20 -+■ -ib — 5c
20 — a -hib —
aH-36-
En égalant cette valeur à zéro, nous obtiendrons, pour première équation de condition,
En opérant d'une manière identique sur les deux autres déterminants caractéristiques, nous obtiendrons les deux autres équations de condition
loa + g^ — 5c = 26.
Le Tableau des coefficients des inconnues dans les trois équations de condition est
En divisant la dernière colonne par 5 et en ajoutant ensuite la troisième ligne aux deux premières, on a, pour sa valeur,
Ce déterminant n'étant pas nul est le déterminant principal du système. Il n'y a donc pas de déterminants caractéristiques, et les équations considérées sont compatibles. Comme toutes les inconnues sont principales, on appliquera les formules de Cramer.
Le numérateur de la valeur de a sera
On a donc
-GGo
En suivant une marcJie identique pour les numérateurs des \aleurs de b et de c, on trouvera
t = 4 et c = 6.
Ces valeurs de a, b, c rendant les six équations données compatibles, il
ALGÈBRE SUi-ÉRIEURi:. S'J
suffira de considérer les trois premières pour avoir jt, j, z et pour achever la résolulion du système.
Le Tableau des coefficients des inconnues étant dans ce cas
ce déterminant du troisième ordre sera le déterminant principal des équations choisies, s'il n'est pa-t nul. Or il a pour valeur, en retranchant la première colonne des deux autres,
II n'y a donc pas de déterminant caractéristique, les équations sont bien compatibles et les inconnues, toutes principales, seront fournies par les formules de Cramer. Le numérateur de l'expression de x aura pour valeur, en se servant de la règle indiquée au n° 63, c'est-à-dire en multipliant respectivement les trois lignes du déterminant qui représente ce numérateur par les facteurs 6, 3, 2,
70 àO
La valeur de x est donc
En suivant une marche identique pour les nnmérateurs des valeurs de j' et de s, on trouvera
et
99. 6" Chercher la condition qui doit être remplie pour que deu.v e'quations du second degré' à une inconnue aient une racine commune {Alg. éle'm., 246).
Soient les deux équations
«i.r2 -H ^j,r = — Cl, a^x- -t- b^x = — Cj,
ALGEBRE SUPERIEURE.
OÙ x^ et X peuvent être regardées comme deux inconnues différentes au [iremier degré. Pour la racine commune supposée, ces deux éq'ialions doivent être compatibles.
Si le déterminant
[ <^i Ih
n'est pas nul, ce sera le déterminant principal du système, et il n'y aura pas de déterminant caractéristique. Le système sera alors compatible. Toutes les inconnues étant principales, on aura, pour valeur de x'^,
— Cl bi
— Ci b^
f'i bi I 0,r,
rt, bo «1^2— bict-i
et, pour valeur de .r,
Ci a 2 — C/1C2 (iib-i — b^Oi
La condition cherchée est donc évidemment
(c\(ii— fil Cl)- bi r, — Cl bi {oib-2 — biUo)- Oib^ — bia, OU
(Cjrto — «^'1^2)- = («1^2 — l>i(i2){hiC^ — r. b^),
<:l la racine commune a pour expression
Cl «2 — f'iCi ai bi — bia^
Si le déterminant du deuxième ordre
«1 bi
était nul, c'est-à-dire si l'on avait
<7] b-i — bi a^ = 0,
on prendrait «i pour déterminant principal du premier ordre. Le déterminant caractéristique correspondant serait
I «I —Cl I «2 —Ci
et la condition de compatibilité deviendrait
Cia=> — «if2 = c;
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 8g
mais toutes les inconnues n'étant pas principales, le système serait indéterminé. Et, en effet, les relations précédentes donnant
«1 /Vi Ci
les équations proposées ont les mêmes racines [^Ig. élém., Vfl) ou se réduisent à une seule.
