Une expression telle que

où a, b, c, . . ., l sont des coefticients numéi'iques ou algébriques indépendants des inconnues a-i, a:^, x^, . . ., x,„, toutes au premier degré, constitue une forme linéaire et homogène de ces inconnues.

Une pareille expression égalée à zéro représente une équation linéaire et homogène à m. inconnues. Ainsi, dans toute équation linéaire et homogène, le terme tout connu est nécessairement nul.

101 . Le théorème général de M. Rouché est immédiatement applicable aux systèmes d'équations linéaires et homogènes.

D'après ce qui précède, en effet, les déterminants caractéristiques d'un pareil système, s'il en existe, sont tous nuls, leurs dernières colonnes se trouvant composées de termes tout connus ou d'éléments nuls (87, 52). Les équations proposées sont donc toujours compatibles (89, i"); ce qui est d'ailleurs évident a priori, car elles admettent toujours la solution

ce \ -~— ce ^ — cc^ — • • . — o»

Nous n'avons donc plus à tenir compte que de la seconde partie de l'énoncé général du n" 89 et, en la modifiant légèrement, nous dirons que :

Tout.système de n équations linéaires et homogènes à m in-

ALGÈBHE SUPÉRIEURE. 9I

connues admet la solution unique ^j = a?^ == ^3 = . . . = x,„ = o ou est indéterminé, suivant que les inconnues sont ou non toutes principales.

Ce nouvel énoncé répond à tous les cas qui peuvent se présenter pour les équations linéaires et homogènes.

102. Siii)posons n == m, c'est-à-dire un nombre égal d'équations et d'inconnues. On a alors le système

rti j"i+ Z>i ^2-+-c, 373 + . . .-H /, :r„=o, a.ya•^-\- b^ .r, -{- c^x^^-i- . . .~\- l^x^rz^ o,

a,, Xi -+- b„ j-, -+- o„ x3-i-. . .+ l„x„=zo.

Dans cette hypothèse, le système est ou non indéterminé, suivant que le déterminant des coefficients des inconnues est ou non égal à zéro.

Admettons qu'il soit indéterminé, c'est-à-dire que le déterminant des coefficients des inconnues soit égal à zéro, auquel cas il ne pourra pas être déterminant principal: les inconnues ne seront donc pas toutes principales (87, 101).

Il se présente alors un fait remarquable :

Les n inconnues sont indéterminées, mais les rapports de n — I d'entre elles à la n'*'"« sont, en général, déterminés.

Divisons en effet les n équations par la dernière inconnue x^; elles deviendront

X\ , Xn X^ ,

rtj \- b-i 1- Cj h . . . == — <â,

X f, X it X ,.

rt„ h />„ — + C„ h . . . = — la-

X ,1 .1 „ Xit

En prenant pour inconnues les n — i rapports —^ — >

—^■, • ■ ■ ■> —^^ 3 nous aurons à considérer un système de n équa-

lions linéaires, non homogènes, à n — i inconnues. Dans le Tableau des coefficients des inconnues, prenons

ga ALGEBRE SUPÉTlIEUr.E.

les /z — I premières lignes et les n — i premières colonnes. Si le déterminant correspondant n'est pas nul, il sera le délerminant principal du système. On ne pourra alors former que le seul déterminant caractéristique (87)

bn-i

Cn-l ■

.. -In-l

On

bn

Cn

.. ~ln

Pour que les n équations à « — i inconnues soient compatibles, il faut donc que ce déterminant caractéristique soit égala zéro. S'il en est ainsi, toutes les inconnues étant principales, le système admettra une solution unique et déterminée (89).

103. La remarque que nous venons de faire conduit en même temps à un théorème qui est d'une grande importance, notamment en Géométrie analytique.

Si l'on a un système de n équations du premier degré contenant n — I inconnues, le résultat de V élimination de ces n — I inconnues s'obtient en général immédiatement en égalant à zéro le déterminant du n^"^"^*^ ordre formé par les ncoefficients des équations données, y compris leurs termes tout connus.

En effet, comn)e on vient de le voir (10*2), en égalant ce déterminant à zéro, on exprime que les équations données sont compatibles, ou l'on écrit l'équation de condition qui doit exister entre leurs coefficients pour qu'elles soient compatibles. Or cette équation de condition résulte précisément de l'élimination des n — j inconnues entre les n équations.

L'équation ainsi obtenue s'appelle la résultante du système proposé.

Il est évident que cette résultante reste la même, que les termes tout connus soient écrits dans le premier ou dans le second membre des équations, car une quantité nulle dont on change le signe (oi) reste nulle.

Nous avons démontré le théorème précédent d'une autre manière en Algèbre élémentaire {Alg. élém., 193).

ALGEBRE SUPERIEURE.

Des relations linéaires et homogènes.

104. Pour qu'un déterminant A soit nul, il faut et il suffit qu'il existe entre les éléments des différentes lignes ou des différentes colonnes des relations linéaires et homogènes.

Supposons, en effet, qu'on ait

«., b., Co ... /, '

Prenons maintenant les éléments de ce déterminant comme coefficients dans un système de n équations linéaires et homogènes à n inconnues, système toujours compatible (101); nous aurons

«1 ^1 H- è, 0^2 + Cl ^3 H- ... + /[ ^„ =^. o,

«2 Xj + 60 ^2 + C2 ^Tj + . , . + h x,i := o,

«„ Xi 4- b,i .r 2 ■ h c„ .373 4- . . . + 1,1 Xn^o.

Si le déterminant A est nul, il ne pourra pas être le déterminant principal du syslémo, toutes les inconnues ne seronl pas princi[)ales, et le système, étant alors indéterminé (101), admettra, |)Our les inconnues Xi, x^, x^, . . .,x„, des solutions différentes de zéro. Il existera donc bien entre les éléments des différentes lignes du déterminant A des relations linéaires et homogènes.

Cette condition entraîne réciproquement la nullité de A; car, si leséqualions linéaires et homogènes indiquées adineltentdes solutions diflérenles de zéro, elles forment un système indéterminé (101). Toutes les inconnues ne peuvent donc être principales, et l'on a nécessairement A:=o.

Nous avons déjà démontré cette réciproque d'une autre manière à la fin du n» 57.

lOo. Nous démontrerons encore ce théorème :

Soient les fonctions ou les formes linéaires et homogèens

des n variables x,, x^, x^, .... œ^,

Xj =: «1 ^1 H- ^i ^^^2 + Cl ^3 + . . . -t- /, x,i , Xo ^= a^Xi-h bo X2 + c^x^-h ■ . . 4- 4 .r„,

X„ = an^i-+- à,, x.^ 4- Cf, .r^ + . . . -H /;t x,^.

Pour qu'il y ait une relation linéaire et homogène entre ces formes X,, X2, . • ., X„, il faut et il suffit que le déterminant A des coefficients des variables correspondantes Xi,x^, . . . , Xn, soit égal à zéro.

En effel, si l'on suppose A = o, les équations

Xi = o, X2=o, ..., X„=o

formeront un système indéterminé et admettront nécessairement, pour x^, X2, x-i, ..., Xn, des solutions non nulles (101). Si l'on désigne une de ces solutions par a^, y.-i, a^, ..., a„, on pourra évidemment écrire, pour cette solution,

relation linéaire et homogène entre X,, X2, X3, . . ., X„.

Réciproquement, si une pareille relation d'identité existe pour des valeurs ai, «a, «s» •••> ««> de x,, x,, X3, ..., x,i, différentes de zéro, les équations Xi=ro, X^^o, ..., Xrt==o, admettent des solutions non nulles. Elles forment donc un système indéterminé, et l'on a A = o.

Applications.