Soit à résoudre le système
ax-\r &y-¥ bf f=! o, ax -+- cjr -4-63=0, èjr-H by-^fiz = o.
Le Tableau ou le délerminanL des coefficients est
ALGEBRE SIJPEraELUE. gO
En retranchant la deuxième ligne de la première, on a immédiatement
Si les deux facteurs {a — c) et (a* — /;-) sont différents de zéro, le déterminant posé est le déterminant principal du système, toutes les inconnues sont principales, et le système admet la solution unique et déterminée ( 101 )
Si Ion a a = c on a"^ — ^-, le déterminant du troisième ordre considéré est nul, toutes les inconnues ne sont pas principales, et le système est indéterminé (101).
Supposons a=c. On doit passer au déterminant du deuxième ordre
— frr — a- = o.
Comme il est aussi égala zéro, il faut prendre le déterminant du premier ordre a et employer les formules générales de M. Rouché (91 ); l'indétermination est du deuxième ordre, et l'on a simplement, r et z demeurant arbitraires,
— a y — hz b
D'ailleurs l'hypothèse a = c réduit le système aux deux équations
ax + ay -h bz ^^ o, bx -+- b y -\- az = o.
comme elles sont compatibles, on doit alors avoir
- = T ou b^ — a-.
Ainsi, en même temps que a = c, on a nécessairement b —±a. Il en résulte
X= — f 3 OU X= — J -!- 3.
107. 2° On demande d'appliquer la remarque du n" 102 au système de trois équations homogènes à trois inconnues.
Soient les équations
a^x -^ biy -h CiZ = o, a-iX -\- b^y -4- Cis = o, «jx-f- /'aj-^fj'' = o.
Si le déterminant des coefficients est supposé nul, le système est in-
g6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
déterminé (101 ). Cherchons les rapports des deux premières inconnue-^ à la troisième, en divisant par z les deux membres de chaque équation. Nous aurons
cil '- -4- bi
■■ — Ci,
En prenant dans le Tableau des coefficients des inconnues '— les deux premières lignes et les colonnes correspondantes, nous aurons le
déterminant
Ce déterminant, s'il n'est pas nul, représentera le déterminant principal du système, et il conduira à son seul déterminant caractéristique. Eu égalant à zéro ce dernier déterminant, la relation
— Co
qui a nécessairement lieu lorsque le système donné est indéterminé, exprime que le nouveau système qu'on en a déduit est compatible (89). Les inconnues étant d'ailleurs toutes princioales, on a, d'après les formules de Cramer,
— Ci bi
bi
bi
Cib-2 biC2
a^biaiCi-
bicii
bici-i
(Jlg. éléni., 159, 191).
108. 3° Chercher s'il existe une relation linéaire et homogène entre les trois formes linéaires et homogènes des trois variables x,j\ z,
Xi^Sx-i- 7/ H- 6z, X.2 = yx-[- 5j-h3z, X3= ^x -h 5j- -^ 6z.
Considérons le déterminant des coefficients des variables
ALGEBRE SUPERIEURE. g^^
En multipliant d'abord sa seconde ligne par 2, nous aurons successivement
La relation cherchée existe donc (lO.j), et les équations Xi = o, X2 = o, X3 = o forment un système indéterminé. Prenons le déterminant du deuxième ordre
puisqu'il n'est pas nul, c'est le déterminant principal du système. Comme les inconnues ne sont pas toutes principales, il faut employer les formules générales de M. Rouché (91 ), et l'on a
Si l'on fait, par exemple, z = i, on a, en même temps, j;=i et y = — 2. La relation linéaire et homogène correspondante enlre les trois formes données est alors
Xi — 2X2^- X3 = o.
109. Nous terminerons ces Cluipitres fondamentaux sur les déterminants, en disant, avec M. Svi.vester :
« La ihéorie des déterminants peut être regardée comme ime Algèbre au-dessus de l'Algèbre, comme un calcul qui permet de combiner et de prédire les résultats des opérations algébriques, de la môme manière que l'Algèbre elle-même dispense de l'exéculion des opérations particulières de l'Arillimélique. »
De C. - Couis. m.
gS ALGÈBliF, SLPÉllIEURE.
