i" Lorsqu'une grandeur ou un« quantité variable X

se rapproche indéfiniment d'une grandeur ou d'une quantité

fixe A, de manière que la valeur absolue de la différence

A — X puisse devenir et rester plus petite que toute quantité

donnée aussi petite qu'on voudra, on dit que A est la limite

de X, et l'on écrit

iimX=A.

112. 2" Une quantité variable ne peut tendre vers deux limites distinctes.

Supposons, en effet, qu'une pareille quantité puisse avoir deux liinlles différentes a et b, telles que

. . d et soit ô <- •

Les intervalles compris, d'une part, entre a + ô et a — â et, d'autre part, entre 6 -f- ô et 6 — ô, n'ont évidemment rien de commun. Les quantités

b — ô, b + 0, a — 0, a H- (5, sont, en effet, rangées par ordre de grandeur ; car la différence

entre les deuK termes intermédiaires est égale à

a — h — 20 ou à d — 20,

quantité positive d'après l'hypothèse {Alg. élém., 21i).

Cela posé, une quantité variable qui aurait pour limite a finirait par tomber entre a-^o et a — ô (lil), tandis qu'une quantité variable qui aurait pour limite h finirait par tomber entre 6 4- ô et Z> — â. La quantité variable considérée finirait donc, en tendant vers ses deux limites différentes a et h, par être comprise à la fois dans deux régions complètement séparées, ce f|ui est impossible.

113. 3^ Lorsque deux grandeurs sont multiples d'une troisième grandeur, celte troisième grandeur se nomme leur commune mesure.

Deux grandeurs sont commensurables ou incommensurables entre elles, suivant qu'elles ont ou qu'elles n'ont pas de commune mesure.

11 i. 4" Lorsqu'une grandeur a une commune mesure avec l'unité choisie, cette commune mesure est l'unité elle-même ou une partie aliquole de l'unité. Dans le premier cas, la grandeur considérée est ««e^uree par un nombre entier; dans le second cas, elle est mesurée par un nombre fractionnaire.

Réciproquement, toute grandeur mesurée par un nombre entier ou par un nombre fractionnaire est commensurable avec l'unité; car celte grandeur est un multiple de l'unité ou dune partie aliquole de l'unité.

Une grandeur incommensurable avec l'unité ne peut donc être mesurée, ni par un nombre entier, ni par un nombre fractionnaire.

115. S*" Un nombre est dit co/«/?;e«5«ra6/^ ou incommensurable, suivant (|ue la grandeur dont il exprime la mesure est commensurable ou incommcnsur.ible avec l'unité.

Les nombres commensurables sont les entiers et les nombres fractionnaires.

Les nombres incommensurables ne peuvent être représentés dans leur intégrité que par des symboles particuliers; mais on peut toujours indiquer des nombres commensurables qui en approchent autant qu'on veut. C'est ce que nous allons faire voir.

lOO ALGEBRE SUPERIEURE.

116. Considérons une grandeur A incommensurable avec l'unité que nous désignerons par B. Elle sera mesurée par un nombre incommensurable a (Uo).

n étant un nombre quelconque, entier ou fractionnaire, p formons la grandeur —, et admettons qu'elle soit contenue

m fois dans A, avec un reste moindre que — : le plus grand

multiple de — contenu dans A sera m — , et la grandeur in- « n

commensurable A sera comprise entre les deux grandeurs

commensurables

m — et ( m + I ) —

Si l'on conserve toujours B pour unité, ces deux grandeurs commensurables seront mesurées par les nombres

— et

/-w 1- 1 m ni-\-\

On dit alors que — et sont deux valeurs, approchées

à moins de -, du nonijjre incommensurable a qui mesure A, n

la première par défaut, la seconde par excès, et l'on a

m ni

117. Pour aller plus loin, désignons par a„ et a,^ ces valeurs approchées de a.

Remarquons que, d'une manière générale, a„ ne crott pas toujours avec n. Si nous prenons, par exemple, la diagonale d'un carré en choisissant son côté pour unité, cette diagonale est représentée par \Ji {Géom., 169), et si l'on extrait cette

racine par défaut, à — près d'abord, à — près ensuite lArithm., 283), on trouve pour résultats — et — > c'est-à-dire

Pour lever toute difficulté, nous appellerons valeur prin-

ALGEBRE SUPERIEURE. lOl

cipale (') de a, à moins de -par défaut, la plus grande de

lotîtes les valeurs de a^ quand on fait croître n depuis zéro jusqu'à n, et nous désignerons celte valeur principale para,,. De celle manière, quand n croîtra, la valeur principale a„ croîtra aussi ou, du moins, ne décroîtra jamais.

Remarquons, de même, que a'^ ne décroît pas toujours à mesure que n augmente. Si nous considérons, par exemple, le côté du triangle équilatéral inscrit dans une circonférence dont le rayon est l'unité choisie, ce côté est représenté par \^ {Géom., 205), et si l'on extrait cette racine par excès, à

— I)rès d'abord, à — • près ensuite, on trouve pour résultais

lO 11^

— el — ) c est-a-dire a,,.. > a...

Nous aiipellerons donc aussi valeur principale de a, à

moins de - par excès, la plus petite de toutes les valeurs de n

«',, quand on fait croître n depuis zéro jusqu'à n, et nous désignerons celte valeur principale par a^,. De celte manière, quand n croîtra, la valeur principale a„ décroîtra ou, du moins, ?ie croîtra jamais.

118. Cela posé, a„ mesurant une grandeur inférieure à A reste également inférieure, quel que soit n, à l'une quelconque des valeurs a',^ approchées par excès; et, comme a„ ne peut que croître (117) lorsque n croît indéfiniment, la série des valeurs de 3c„ tend nécessairement vers une certaine limite fixe.

De même, y.'„ mesurant une grandeur supérieure à A reste également supérieure, quel que soit n, à l'une quelconque des valeurs a„ approchées par défaut; et, comme «^ ne peut que décroître (117) lorsque n croît indéfiniment, la série des valeurs de a^ tend aussi vers une certaine limite fixe.

Ces deux limites de a„ et de a^ se confondent d'ailleurs ; car, par définition (117), les valeurs principales a„ et a'„ sont toujours comprises entre a„ et a'„ et, |iar suite, leur dilTérence

(') Voir Traité de Géométrie, par F.cc;. Rolxiié et Cu. de Combf.rousse, 5" édition, revue et augmentée, i883. Cette idée de valeur principale appartient à M. PioLcuiî.

102 ALGKUnE SUPÉRIEURE. -

est moindre que

fraction qui tend vers zéro autant qu'on veut, quand n croît indéfiniment suivant une loi quelconque.

Celte limite commune qui représente aussi, d'après ce qu'on vient de dire, celle vers laquelle tendent en même temps les deux séries de valeurs correspondantes de a,^ et de a',^, est le nombre incommensurable a.

La grandeur incommensurable A est, à son tour, la limite commune des grandeurs commensurables mesurées par ces deux mêmes séries de nombres commensurables.

119. Nous ajouterons, pour préciser les notions qu'on vient de rappeler, que, dans la pratique, il importe peu qu'il y ait ou non de commune mesure entre une grandeur et l'unité choisie, parce que les subdivisions de cette unité deviennent rajudement assez petites pour que le reste de la grandeur à évaluer échappe à toute appréciation physique.

Mais, quand il s'agit de grandeurs géométriques, par exemple, liées par des relations déterminées, on peut démontrer théoriquement leur incommensurabilité. Ainsi on prouve que la diagonale et le côté du carré n'ont aucune commune mesure, et cela, que l'unité choisie soit le côté du carré ou toute autre grandeur.

On voit donc que, si l'on n'étendait pas l'idée de nombre comme nous venons de le faire, il faudrait distinguer les cas où les grandeurs peuvent être exprimées en nombres avec une certaine unité, sans pouvoir l'être avec une autre, ou bien encore se résigner à admettre dans la même question des grandeurs mesurables à côté de grandeurs non susceptibles d'être exprimées en nombres, quelle que soit l'unité choisie (*). L'alternative ne saurait être douteuse.

Opérations sur les nombres incommensurables.

120. Nous devons maintenant revenir sur les opérations usuelles appliquées aux nombres incommensurables.

('; J.-M.-C. DiHAMEL, Des méthodes dans les sciences de raisonnement ^ W" Parlif, p. 70.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. I o3

Puisque les nombres ne sonl que la représentation des grandeurs, on est conduit par ce qui précède à cette définition générale :

Le résultat de toute opération sur des nombres incommensurables est la limite des résultats fournis par la même opération appliquée à leurs valeurs approchées à moins de —■,

par défaut ou par excès, lorsque n croit indéfiniment, suivant une loi quelconque.

Nous allons vérifier, pour chaque opération, que celte limite existe et qu'elle ne dépend pas de la manière dont n croit indéfiniment.

Dans ce qui suit, nous désignerons par a et (3 les deux nombres incommensurables proposés; a„ et a'„, è„ et b\^ seront les valeurs de ces nombres approchées par défaut et par excès à

moins de — ; a„ et a„, (3„ et ,3„, les valeurs principales correspondantes; aesl la limite commune de a„, a'„, a„, «'„, comme [3 celle de 6„, b\, [3„, j3^,, quand n croît indéfiniment (118).

121. Addition. — Il faut définir la somme de deux nombres incommensurables a et j3.

Formons les deux sommes a„ + f3„ et a'„-t- (3^. Elles constituent deux séries correspondantes, lorsqu'on fait croître n indélinimetit d'une manière quelconque.

Les nombres de la première série, sommes des valeurs principales par défaut, ne pouvant décroître (117), croissent en général en restant inférieurs à un nombre quelconque de la seconde série. Les nombres de la seconde série, sommes des valeurs principales par excès, ne pouvant croître (117), décroissent en général en restant supérieurs à un nombre quelconque de la première série. Les nombres des deux séries convergent donc respectivement vers une limite qui est la même pour les deux suites; car, en s'arrèlant à un rang quelconque, la diflércnce

(«//+ (^«) -(««-+- ;5«) ou («;,-«„) -4- ([3:,- [3„)

est moindre, d'après la définition des valeurs principales, que la différence

fraction qui tend vers zéro autant qu'on veut, pour n croissant indéfiniment suivant une loi quelconque.

C'est celte limite commune qui est la somme a 4- (3.

La même définition s'appliquera évidemment au cas de plus de deux nombres, pourvu que les nombres à ajouter soient en nomhvQ fini. Nous reviendrons sur ce point.

122. Soustraction. — On dit que a est plus grand que (3, si l'on a, quel que soit n, a„> p„.

11 faut définir la différence de deux nombres incommensurables a et (3.

Formons les deux différences a„ — [3'„ et a'„ — j3„ en associant les valeurs principales par défaut aux valeurs principales par excès, et réciproquement. Elles constituent deux séries correspondantes, lorsqu'on fait croître n indéfiniment d'une manière quelconque.

Les nombres de la première série, ne pouvant décroître d'après la définition des valeurs principales, croissent en général en restant inférieurs à un nombre quelconque de la seconde série. Les nombres de la seconde série, ne pouvant croître, décroissent en général en restant supérieurs à un nombre quelconque de la première série. Les nombres des deux séries convergent donc respectivement vers une limite qui est la même pour les deux suites; car, en s'arrètant à un rang quelconque, la différence

{^'n—^n) — {c^-n—P'n) OU («'„—«„)-+-( [3;, — (3 J

est moindre que la différence

qui tend vers zéro autant qu'on veut pour n assez grand. C'est cette limite commune qui est Idi différence a — (3. Comme on a, quel que soit n,

on a aussi, à la limite,

et la différence a. — [3 est le nombre qui, ajouté à (3, reproduit a.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. Io5

123. Multiplication. — 11 faut définir le produit de deux nombres incommensurables a et (3.

Formons les deux produits a„|3„ et a'„[3',j qui constituent deux séries correspondantes quand on fait croître n indéfiniment d'une manière quelconque.

Un raisonnement identique à celui du n" 121 montre que les nombres de ces deux séries convergent respectivement vers une limite qui est la même pour les deux suites; car, en s'arrêtant à un rang quelconque, on a

et les deux fractions du second membre de cette identité {Alg. élém., 61) tendent en même temps, autant qu'on veut, vers l'unité (118), lorsque n croît indéfiniment suivant une loi quelconque.

C'est cette limite commune qui est le produit a[3.

La même définition s'appliquera évidemment au cas d'un nombre quelconque de facteurs incommensurables, pourvu que ce nombre so'xifini. Nous reviendrons sur ce point.

Comme on a

quel que soit n, on a aussi, à la limite,

La valeur du produit a{3, telle qu'on vient de la définir, esl donc indépendante de l'ordre des facteurs.

II en résulte que le théorème fondamental relatif au changement d'ordre des facteurs d'un produit (Arithm., 66) s'étend, avec toutes ses conséquences, au cas d'un nombre quelconque de facteurs incommensurables.

124. Division. — Il faut délhùrlc quotient de deux nombres incommensurables a et (3.

En associant les valeurs principales par défaut aux valeurs nrincipales par excès, et inversement, formons les deux quotients ~ et -^y qui constituent deux séries correspondantes,

(piand on fait croître n indéfiniment d'une manière quelconque.

ALGEBRE SUPERIEURE.

Un raisonnement identique à celui du n^ 122 montre que les nombres de ces deux séries convergent respectivement vers une limite qui est la même pour les deux suites; car, en s'arrètant à un rang quelconque, on a

^■n . ^-n '^-n pu

et les deux fractions du second membre de cette identité {Alg. élém., 62) tendent en même temps, autant qu'on veut, vers l'unité (118), lorsque n croît indéfiniment suivant une loi quelconque.

C'est cette limite commune qui est le quotient -^.

Comme on a, quel que soit n,

on a aussi, à la limite.

^•n — r/ï /î' ' ri

et le quotient ^ est le nombre qui, multiplié par (3, repro-

duit a.

125. Puissances. — Ce que nous avons dit relativement au produit de deux ou de plusieurs facteurs incommensurables (123) doit subsister lorsqu'on suppose tous les facteurs égaux entre eux. C'est ce qu'on peut vérifier directement.

m étant un nombre quelconque entier et positif, msAifini, il faut définir la puissance nV^^" d'un nombre incommensurable y..

Formons les deux puissances (a,,)'" et (a^)'". Ces puissances constituent deux séries correspondantes, quand on fait croître n indéfiniment d'une manière quelconque.

Les nombres de la première série, puissances des valeurs principales par défaut, ne pouvant décroître (117), croissent en général, en restant inférieurs à un nombre quelconque de la seconde série. Les nombres de la seconde série, puissances des valeurs principales par excès, ne pouvant croître (117), décroissent en général, en restant supérieurs à un

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. lO^

nombre quelconque de la première série. Les nombres des deux séries convergent donc respectivement vers une limite qui est la même pour les deux suites; car, en s'arrètant à un rang quelconque, on a [Arithm., 218)

et la fraction entre parenthèses du second membre de cette identité tend autant qu'on veut vers l'unité, lorsque n croît indéfiniment suivant une loi quelconque (118).

C'est cette limite commune qui est la puissance m'^""^, a"% de a.

126. Racines. — C'est l'extraction des racines qui nous a conduit, en Arithmétique, à la notion des nombres incommensurables.

D'une manière générale, extraire la racine /?j'^""' d'un nombre, en supposant m quelcont|ue, mais entier et positij, c'est chercher le nombre qui, élevé à la puissance m, reproduit le nombre donné.

Il résulte de celte définition que les racines «t'^'"^* des nombres entiers qui ne sont pas des puissances exactes du même degré m d'autres nombres entiers, et les racines m'^""" des fractions irréductibles dont les deux termes ne sont pas des puissances exactes de degré m, sont des nombres incommensurables {Aritlini., 218, 219).

Si nous considérons un nombre positif A, il y aura donc trois cas îi distinguer.

Si A est entier et si l'on peut trouver un nombre entier a, tel qu'on ait

a sera la racine m'»™'' de A.

Si A est fractionnaire et égal à —, on peut poser

pq>

q'" Si l'on trouve alors un nombre entier a, tel qu'on ait a'" = pq"''^,

I Ob ALGEBRE SUPERIEURE.

on a aussi évidemment

et le nomljre fractionnaire - sera la racine 7?i'^™« de A.

On voit que l'extraction de la racine d'un nombre fractionnaire peut toujours se ramener à l'extraction de la racine d'un nombre entier.

Nous supposerons, par conséquent, comme troisième hypotlièse, que A est entier et qu'il ne représente pas une puissance m'^™<' exacte. Sa racine m'«™^ sera alors un nombre incommensurable a, qu'il s'agit d'abord de détinir.

n étant un entier quelconque, admettons qu'on veuille

obtenir la racine mi«""= de A, à - près, par défaut ou par

excès.

Si nous considérons la suite des puissances m'^'"^^ des nombres entiers consécutifs

I'", 2"% 3'", . .., A"S (/r-hi)'", ...,

le produit entier A/i" tombera nécessairement entre deux termes consécutifs de cette suite, tels que A'" et (A+i)'", de sorte qu'on aura

A'\'" . Ik <A<

— et sont les racines /?i'^™" de A, à — près, par défaut

et par excès. Nous les représenterons (120) par a„ et a'^, et les valeurs principales correspondantes (117) seront a„ et a'„. Quand on fait croître n indéfiniment d'une manière quelconque, ces valeurs principales constituent deux séries conjuguées auxquelles le raisonnement général adopté en traitant des autres opérations (121 et suiv.) est encore applicable. Les termes des deux séries convergent donc respectivement vers une limite déterminée, qui est la même pour les deux suites; car, en s'arrêlant à un rang quelconque, on a (118)

ALGEBRE SUPERIEURE.

et la fraction - tend vers zéro autant qu'on veut, quand n

croît indéfiniment suivant une loi quelconque.

Cette limite commune est le nombre incommensurable

CL = y/A.

127. Si, au lieu d'un nombre entier quelconque A, on a maintenant à considérer un nombre incommensurable L, la racine m'è™« de L est, a fortiori, un nombre incommensurable X qu'on définit comme il suit.

Remplaçons L par deux valeurs commensurables appro-

chces par défaut et par excès a - près, telles que - et >

n étant un entier quelconque.

Cherchons la racine m'«'"« de la première quantité — à —

r -\- i \)i'èspar défaut, et la racine m'^™^ (\q j^ seconde (luantité

à — près par excès (126). Nous désignerons ces deux racines

par Z„ et /^. Les valeurs principales correspondantes A„ et X'„ constituent deux suites conjuguées tendant chacune vers une limite déterminée, quiest la même pour les deux suites, quand n croît indéfiniinenl.

En effet (12G), la limite de X„ est le nombre incommensurable

et celle de >.'„

est

le nom])re

incomme

nsurable

a donc, p;

ir d(

éfinition.

fraction qui tend vers zéro autant qu'on veut quand on fait croître n indéfiniment suivatit une loi quelconque. On a, d'ailleurs (14-, 12'i-, etc.),

iio algLbre supérieure.

Si le premier membre de celte égalité tend vers zéro, il faut donc qu'il en soit de môme du premier facteur du second membre {V — X), puisque le facteur qui lui est associé est une somme de nombres positifs.

Il en résulte que In et >.'„ ont bien la même limite.

C'est cette limite commune, dont nous venons de démontrer l'existence, qui est le nombre incommensurable

ALGEBIVE SUPERIEURE. III