CHAPITRE IX

CALCUL DES VALEURS ARITHMÉTIQUES DES RADICAUX EXPOSANTS FRACTIONKAIRES ET NÉGATIFS.

Observations préliminaires.

128. La puissance m'^'"« d'une expression algébrique est le produit de m facteurs égaux à l'expression donnée.

On n'a donc, pour obtenir cette puissance, lorsqu'il s'agit (l'un monôme, d'un polynôme ou d'un rapport, qu'à appliquer lesrèi^les démontrées précédemment (--1/^. e7e/?i., 23, 28, 61).

Lorsque l'expression proposée est elle-même un produit ou une puissance, on a l'ccours aux théorèmes établis en Arithmétique {Arithni., 76, 75), et qui s'étendent immédiatement au\ expressions algébriques.

129. La racine /n'^""' d'une expression algébrique est l'expression qui, élevée à la puissance m, reproduit Vexpression donnée.

Comme nous l'avons déjà dit souvent, on in(li(|ue la racine /n'=™^ d'une expression à l'aide du signe \J , alîecté de l'indice m. Si a élevé à la puissance m reproduit A, on écrit

Nous verrons plus tard (|ue toute racine ni'*^'"^ a m valeurs. Nous nous bornerons ici à quelques remarques indispensables pour préciser la question que nous voulons traiter, et (pii découle tout nalurellemenl du Chapitre consacré aux nombres incommensurables.

130. On appelle réelles les quantités positives et négatives. Cela posé, A peut avoir une valeur positi\>e ou négative,

m peut être pair ou impair.

112 ALGEBliE SUPERIEURE.

Examinons ces diffcrents cas :

1° Si m est pair et que A soit positif, "\/X admet deux valeurs réelles, égales et de signes contraires.

En effet, qu'on affecte la valeur absolue de "y/Â du signe hou du signe — , comme m est pair et que le produit d'un nombre pair de facteurs négatifs est positif {Alg. élém., 38), on obtient toujours A comme résultat en prenant m facteurs égaux à 4- "{/a ou à — "\J\. Si a désigne la valeur absolue de "v/A, on a donc, d'une manière générale,

2" Si m est pair et que A soit négatif, \J k ne peut être exprimée par un nombre positif ou négatif, puisque le produit d'un nombre pair de facteurs positifs ou négatifs est positif.

On donne à une pareille expression le nom (Y expression imaginaire, par opposition aux quantités positives ou négatives qualifiées de réelles.

Nous traiterons plus loin de la Théorie et du Calcul des expressions imaginaires {Algèbre supérieure, IP Partie).

3" Si m est impair, "y^Â n'a (\\.\une seule valeur réelle, de même signe que A : en effet, un nombre impair de facteurs positifs donne un produit positif, un nombre impair de facteurs négatifs donne un produit négatif.

Si l'on désigne par a la valeur absolue de "\/k, abstraction faite du signe de A, on aura donc, d'une manière générale,

"\/\-=.-^a, si A est positif ; 'y/Â= — a, si A est négatif.

131. Nous conviendrons, dans ce qui va suivre, de regarder les quantités placées sous les radicaux considérés comme ayant seulement des valeurs positives, et nous n'admettrons que les racines positives de ces mêmes quantités (130). Nous nous limiterons ainsi à ce qu'on appelle les valeurs arithmétiques des radicaux.

Les indices des radicaux seront des nombres entiers et positifs et, jusqu'à indication contraire, les exposants des puissances rempliront la même condition.

ALniCBUE SUPERIEURE. 110

Calcul des valeurs arithmétiques des radicaux.

132. Il n'y a pas lieu de s'arrêter à l'addition et à la soustraction des radicaux. Le plus souvent, on ne peut qu'indiquer l'opération à effectuer. Si des simplifications sont possibles, elles dépendent des transformations que nous allons étudier et de ce qu'on a dit en Algèbre élémentaire sur la réduction des termes semblables.

133. I. Pour multiplier plusieurs radicaux de même indice, on multiplie les quantités placées sous ces radicaux, et l'un ajjecte leur produit du radical commun.

Il faut démontrer l'identité

"v/Â.'v/B."vT = "{/Â!lC,

A, B, C étant des quantités quelconques positives.

Or, pour élever un produit à une puissance, il faut élever à cette puissance cbaque facteur du produit {Arithm., 7G). On a, de plus, par définition,