Q' IV
et si l'on forme le numérateur de leur différence, on a (IGO,
RQ'-QR'=±i.
Cette égalité prouve qu'il ne peut exister aucun facteur commun autre que l'unité, soit entre R et W ou entre Q et Q', soit môme entre R et Q ou entre R' et Q'.
Les réduites quelconques -=r^, et ^ , ayant leurs deux termes
premiers entre eux sont des fractions irréductibles (/l/77A/?«., 187, 188).
Cette propriété remarquable explique el justifie le nom de réduites.
163. IIL Les réduites de rang impair et les réduites de rang pair convergent respectivement vers une limite fixe, qui est la ]
valeur de la fraction continue elle-même, et, de deux réduites consécutives, c'est la plus éloignée qui approc/ie le plus de cette valeur.
En effet, d'après ce qui précède (156), les réduites de rang: impair vont constamment en croissant, en restant intérieures à une réduite quelconque de rang pair : elles convergent donc vers une limite fixe. De même, les réduites de rang pair vont conslamment en décroissant, en i-eslant supérieures à une réduite quelconque de rang impair : elles convergent donc aussi vers une limite fixe. Cette limite est, d'ailleurs, la même pour les deux suites; car la différence de deux réduites con-
. . Q li , , , ,
secutives ^^ et ^, > étant égale a
va conslamment en diminuant à mesure qu'on avance dans la fraction continue, et tend vers zéro autant qu'on veut s'il s'agit d'une fraction continue illimitée, puisque, d'ajjrès la loi de formation des réduites (157), les deux dénominateurs Q' et R' vont constamment en croissant, de manière à pouvoir dépasser toute c|uantiié donnée.
Comme la valeur de la fraction continue reste comprise entre deux réduites consécutives quelconques (154), la limite commune dont nous venons de parler n'est autre que la valeur même de cette fraction continue.
En outre, si les deux réduites consécutives considérées sont
fv ^^ ÎT'' ^ P éloignée ^, qui approche davantage de
la valeur X de la fraction continue.
Pour le prouver, nous n'avons qu'à comparer successivement, à ^Y, et à ly, ) la valeur X de la fraction conlinuc, exprimée en fonction tlu quotient complet t (\m correspond au dernier quotient incomplet m compris dans ^ (159).
Pour fixer les idées, nous admettrons que ^ est une réduite de rang pair et qu'on a, par conséquent (154),
l34 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Nous aurons donc (160, IGI)
R R R^ + Q RQ'-QR'
R' R' R'^-hQ' ~R'(R'^ + Q') R'(R'^ + U')
et
Q^ Rf + Q Q^ f(RQ^— QR') t
Or la première différence est évidemment la plus faible des deux, puisque t est au moins égal à i et que Q' est nécessairement moindre que R' (157).
C'est la proposition qu'on vient d'établir qui a fait donner aux réduites le nom de fractions convergentes.
16i. On peut la rendre sensible aux yeux en portant sur une même droite, à partir d'un point fixe 0, des longueurs Oi'i, 04> 04, •••> proportionnelles aux valeurs des réduites de rang impair : ces longueurs formeront une série croissante. Si l'on porte, à partir du même point 0, des longueurs 0/?,, 0/>4, 0/?6, •.., proportionnelles aux valeurs des réduites de rang pair, elles formeront une série décroissante. Les deux séries obtenues occuperont deux régions distinctes et n'empiéteront pas l'une sur l'autre; mais elles convergeront indéfiniment l'une vers l'autre, de manière à n'avoir finalement qu'un point de démarcation tel que X. La longueur OX sera proportionnelle à la valeur de la fraction continue elle-même.
0 /, /, l's I X Pe Pi Pi
163. Le calcul précédent permet d'indiquer deux limites simples de l'erreur commise, lorsqu'on remplace la fraction continue par l'une de ses réduites.
Nous avons trouvé (163)
Remarquons que le quotient complet t est compris, par hypothèse (163), entre les deux entiers consécutifs m et/?i + i.
On aura donc, en valeur absolue, en désignant par —, la ré-
ALGÈBRE SUPÉRIEUKE. T 35
. . R diiite qui suit tt-,
Cette illégalité est évidente a priori (loi, IGO), et elle entraîne la suivante :
On aura, d'autre pari,
R' ^ ll'[R'(//iH-i)-t-Q'J °" R' -^ R'(R'+tî')'
Ainsi, lorsqu'on s'arrête à une certaine réduite, on peut dire que l'erreur commise est moindre que l'unité divisée par le produit des dénominateurs de cette réduite et de la sui''ante iiu que r unité divisée par le carré du dénominateur de la réduite considérée, et que l'erreur commise est plus grande que r unité divisée par le produit du dénominateur de la réduite par la somme de ce dénominateur et de celui de la réduite suivante.
166. 11 résulte de ce qu'on vient de dire que, lorsque la fraction continue est illimitée, on peut toujours former une réduite qui en diffère d'une quantité moindre qu'une quantité donnée t.
Il suffit, en effet, d'arriver à une réduite ^ telle, qu'on ait
jTTT, <£ ou R'>-=.
Or, les dénominateurs des réduites formant une suite indéfiniment croissante, on atteindra toujours une réduite pour laf|iielle cette condition sera remplie.
