V. Toute fraction ordinaire qui approche davantage
de la valeur X de la fraction continue qu'une réduite p-, a
des termes moins simples, c'est-à-dire respectivement plus grands que ceux de la réduite.
Considérons, en effet, la réduite ^77 et la réduite 7^ qui la
précède immédiatement. Admettons que la fraction ^ ap-
jjroche davantage que ^, de la valeur X de la fraction continue.
La fraction — sera d'abord nécessairement comprise entre
les deux réduites ^ ^^ Wi (167). En supposant ^r-, de rang
pair pour fixer les idées, les quatre quantités considérées, rangées par ordre de grandeur croissante, formeront donc la
suite
0„AR Qa„R
^, X, g, ^, ou ^,, j,, X, ^r
Il en résulte
ou (160, 161)
AQ'-BQ ^
BQ' ^\VQ'
Comme il s'agit de nombres entiers, la dilTérence AQ' — BQ
est au moins égale à i. L'inégalité précédente exige donc
qu'on ait
BQ'>IVQ' ou B>R'.
Si nous renversons maintenant les quantités considérées, leurs inverses formeront, par ordre de grandeur décroissante.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. l3'y
la suite
Il en icsiilte
ou
AO— BQ I
