OD 00 OD
II II étant beaucoup plus près de •= que des deux autres fractions.
S'il en est ainsi, il sera impossible, avec des onzièmes d'unité
d'obtenir pour X une valeur aussi approchée que -•
Ainsi, en cherchant les valeurs approchées d'une quantité parmi des fractions de dénominateur donné, on peut, dans certains cas, avoir un degré d'approximation moins favorable qu'avec des l'ractions de dénominateur plus petit. Ce qui est très remai-quable, c'est que cela ne se produit jamais pour une fraction continue, lorsque les valeurs approchées sont choisies parmi ses réduites.
prend qu une quantité X puisse tomber entre — et -^> en
ALGEBRE SUPKRIETJRE.
L'emploi des fractions continues intervient, par la propriélé sur laquelle nous venons d'insister, dans l'établissement des trains d'engrenages compliqués, comme ceux que nécessitent les combinaisons de la haute horlogerie ( ' ).
170. VI. Lorsqu'on réduit en fraction continue deux valeurs dUin nombre N, l'une approchée par défaut, l'autre approchée par excès, tous les quotients incomplets communs aux deux résultats obtenus appartiennent nécessairement au développement de N en fraction continue.
Désignons par A et B les deux valeurs approchées de N par défaut et par excès, et admettons qu'on ait
A et B ont la même partie entière a. Cette partie entière est donc aussi celle de N qui est compris entre A et B, et l'on peut poser à la fois
A = aH 5 B = a H T, N = <7H
X est alors nécessairement compris entre / et j', et comme, d'après les deux développements supposés, ces deux quotients ont la même partie entière b, cette partie entière est aussi celle de x. On peut donc poser encore
u devant être compris à son tour entre .: et z' , qui ont la même partie entière c, a aussi cette partie entière, et l'on peut poser de nouveau
(') f'oir les feuilles autographiées de mon Cours de Cinématique a l'iicole Centrale, iSôS-iSGG.
ff
En continuant, on voit que la fraction continue représentant le développement de N commence nécessairement par a et
par les fractions mtegrantes y» -■> -,•, communes aux deux
développements donnés. On a donc
EXEMPLES
171. I ° Remplacer la fraction — — par des fractions approchées, exprimées aussi simplement que possible, eu e'gard au degré' d'approximation obtenu.
11 suffit de convertir la fraction donnée en fraction continue et d'en lurmer ensuite les différentes réduites (168), d'après l'algorithine indiqué (lo8).
Comme le nombre donné ne contient pas de partie entière, on posera
1892 I 3o"24 3os).i
Il faut chercher le plus grand commun diviseur des nombres 8024 et
i3q2 en réduisant d'abord le nombre fractionnaire -^ à sa plus simple ^ 1392
expression {Jrithm., 189). On est ainsi conduit ù — • L'opération du
plus grand commun diviseur donne alors
fraction continue cherchée est donc ( lo2)
Nous formerons les différentes réduites d'après le Tableau ci-après,
ALGEBRE SUPEKIEtRE.
en remarquant que la première réduite est et que a est ici égal à zéro :
La dernière réduite reproduit naturellement la fraction proposée ramenée à sa plus simple expression (162).
Si Ton remplace r-^ par la fraction -^ > l'erreur commise est moindre ^ 3o2J ^ i3
que
-r— T^ ou que 5 — , et elle est plus grande que „, ttv
ou (jue
172. 2° Trouver des fractions ordinaires exprimant le nombre tt (Gebm., 228) au^^si simplement que possible, eu égard au degré' d'approximation obtenu, sachant que tu est compris entre les deux nombres décimaux
On commencera par réduire ces deux nombres en fraction continue, jusqu'à ce que les fractions intégrantes successivement obtenues deviennent différentes (170).
On trouvera facilement, en passant de la forme décimale à la forme fractionnaire et en sui\ ant la marche rappelée au numéro précédent,
On a donc nécessairement
ALGÈBRE SUPÉUIEUUE.
On calculera les réduites correspondantes à l'aide du Tableau
loG
Ces réduites, en tenant compte du degré d'approximation qu'elles présentent, approcheront plus de t: que toutes les fractions ayant des
termes respectivement plus simples. Ainsi — est la valeur de tt, à i centième près, exprimée avec les termes les plus simples possibles.
Remarquons que — est précisément la valeur de tc trouvée par Ar- 333 355
chimède; — ^r ^ celle qu'on a attribuée aux Hindous; — r> celle qui est
iOD Il3
due à Adrien Métius.
Des fractions continues périodiques.
173. Lorsque, dans une fraction continue illimitée, et nous en avons défini la valeur au n» 163, un nombre limité de quotients se reproduisent indéfiuimenl dans un ordre constant, on dit que cette fraction continue e?,i périodique. Les éléments qui se reproduisent constituent la période.
Lorsque la période commence dès le premier quotient incomplet, la fraction continue esi périodique simple. Lorsque la première période ne commence pas dès le premier quotient et est précé<lée d'éléments qui ne se reproduisent pas, la fraction continue (ii>\. périodique mixte.
Nous nous proposons ici de démontrer le beau théorème de Lagrange sur les fractions continues périodiques [J.-L. Lagra>'GE, Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés ('), Cbap. VI].
Nous exposerons d'abord la proposition suivante qui, comme le dit Lagrange, était connue depuis longtemps, lorsqu'il en démontra la réciproque, beaucoup plus difiicile à établir.
17i. 1. Toute fraction continue périodique peut être regardée comme V une des racines irrationnelles d'une équation du second degré à coefficients rationnels.
(•) Tome VIII de l'édition complète des OEucres de Lagrange, publiée par les soins de M. J.-A. SiinREX, sous les auspices de M. le Ministre de l'inslrticlion publique; Gauthler-Villars, mdccclxxix. — Cours d'Algèbre supérieure, [mr J.-A. .Serbet , 3« édition, t.ljGaulhiui-Villars, 1866.
l42 ALGÈBRE SUPÉIÎIKURE.
Lorsque la fraction continue est périodique simple, les racines de l'équation du second degré correspondante sont de signes contraires. Lorsque la fraction continue est périodique mixte, les racines de l'équation du second degré correspondante sont de même signe.
1° Soil la fraction périodique simple x, dont la période est formée des quotients incomplets a, b, c, d. On aura alors indéfiniment
Comme la fraction continue se poursuit ainsi sans jamais s'arrêter, il est clair qu'on peut écrire
a; = rt -t-
Désignons par ^ et ^jy les deux réduites qui correspondent
aux derniers quotients incomplets c et ^ dans la nouvelle expression de X. Nous aurons (159)
d'oij l'on déduit immédiatement
R'^^— (R — Q')x — Qr=o.
Le terme tout connu étant négatif, les racines de cette équation du second degré sont de signes contraires {Alg. élém., 2U).
2'^ Soit la fraction continue périodique mixte x, dont la parlie non périodique est formée des quotients incomplets a, b,.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. l43
c, d, et dont la période est formée des quotients incomplets e, f, g. II. On aura alors indéfiniment
or -4
Si l'on désigne par / la valeur de la fraction continue périodique simple
Il -\
comme ia fraction contimie r se poursuit sans jamais s'arrêter, il est clair qu'on peut écrire à la fois
( I ) J? =: rt H
CH
el
l44 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Si l'on représente alors par -^ et — les réduites qui corres-
pondent aux quotients incomplets c et c? dans la valeur (i)
de X et par ^ et jry les réduites qui correspondent aux
quotients incomplets g et h dans la valeur (2) de x, on a
aussi à la fois (159)
CW ry^q R J 4- Q
Si l'on résout par rapport à y considéré comme fonction de X les deux équations comprises dans la relation (3), et si l'on égale entre eux les résultats obtenus, il vient évidemment
q-q'x q-<yx ^^^ r'x—r '^ R'u;-R'
et l'on en déduit
X est donc encore racine d'une équation du second degré à coefficients rationnels.
Le produit des racines de cette équation est égal {Alg. élém., 24-2) à
^^) q'Ii'-r'Q'
et il nous reste à chercher le signe de cette expression.
Désignons par ^ la réduite qui précède —, et par -, la réduite qui précède y^* Nous aurons (157)
/■ =r qd -i-p, l\ =Qh + P,
En substituant ces valeurs dans l'expression (6), on peut lui donner les formes successives
q{Qh-hV) — {qd-{-p)Q Qq{h - d) + qP - p() q'iQ'/i -h P') — K(j'd + p'}Q' ~ Q'q'ih — d) + q'P'—p'Q'
( A — 6?) , , „ Qq \(J q
ALGEBRE SUPERIEURE. I^O
Or h ne peut être égal à d, sans quoi la période commencerait un rang plus tôt, et la différence des deux nombres entiers h eid est au moins égale à i en valeur absolue. D'ail-
leurs, les rapports — ? ^, —, -y, sont des fractions proprement dites d'après la loi de formation des réduites, et il en
est de même, a fortiori, des dilTérences -^ — — > — •
Les deux termes du second rapport écrit dans la dernière forme donnée à l'expression (6) ont donc nécessairement le même signe, et cette expression est positive. Les deux racines de l'équation (5) sont, j)ar conséquent, de même signe ^Alg. élém., 2U).
Remarque. — Le raisonnement employé exige évidemment que la IVaction périodique mixte admette plusieurs quotients avant la première période.
S'il n'y avait, avant cette période, ^\x un seul quotient a, on aurait
et la réduite -^ deviendrait la réduite fictive - (158). Par suite, le produit (6) des racines de l'équation (5) serait égal à
ra[iport qui peut être positif ou négatif; de sorte que, dans ce cas particulier, les deux racines de l'équation (5) peu\enl être de inêuic signe ou do signes contraires.
175. 11. TiiÉORÈMK UE Lagrange. — Toute racine irrationnelle d'une équation du second degré à coefficients rationnels se développe suivant une Jraction continue périodique.
Lorsque l'é'juation du second degré considérée a ses racines de signes contraires, la fraction continue est périodique simple ou périodique mixte avec un seul (juotiént avant la période. Lorsque cette écjuation a ses racines de même signe, la fraction continue est périodique mixte.
i*our plus de clarté, nous diviserons la démonstration en plusieurs parties.
De C. — Cours. III. lO
l46 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
1 " Conventions préliminaires.
Toute quantité irrationnelle, racine d'une équation du second degré à coefficients rationnels, est une irrationnelle du second degré.
On peut toujours ramener une équation du second degré à coeHicients rationnels à avoir ses coefficients entiers et, en multii)liant l'équation par 2 si cela est nécessaire, à avoir un nombre pair pour coefficient de la première puissance de l'inconnue.
Soit donc
KCC^ +2B^ + C=:0
une équation du second degré oij les coefficients A, B, C sont des nombres entiers, positifs ou négatifs, tels que la quantité B- — AC placée sous le radical de la valeur de x et supposée positive {Alg. élém., 237) ne soit pas un carré parfait. En effet, si B- — AC représentait un carré parfait, x serait un nombre commensurable, et son développement en fraction continue serait limité (132).
On a, pour les racines de l'équation proposée,
B±v/B^ — AC
En posant B^ — AC = F et en prenant le radical toujours positivement, on peut les écrire
On associera ensemble les signes supérieurs et les signes inférieurs. En elTet, dans celte bypothèse, la première racine P, + \ F ^ , , . + B + v/f - B - v/P
sera
- — et la seconde racine, t-^ — ou
Si l'on veut ne tenir compte que des valeurs absolues des racines, on se contentera de prendre le dénominateur A. dans la formule précédente avec le signe qui rend l'une ou l'autre racine positive.
Nous poserons maintenant
Nous représenterons, en outre, par D-, la valeur de C prise
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. l /\J
avec un signe tel qu'on ait
