AG = — D,D

Nous verrons pins loin le but de cette notation. Finalement, toute irrationnelle du second ciegvé prise posituement peut être représentée par la formule

avec la condition

(2) F = B^-AC--=E2-f-D,D.

F est un entier positif dont la racine carrée est irrationnelle. Les nombres E, D, D, sont des nombres entiers, y?osilifs ou négatifs.

1° Développement en fraction continue de l'irrationnelle positive du second degré

Nous déterminerons la racine du plus grand carré enlieicontenu dans F et, en divisant par D la somme formée par E et par cette racine, nous trouverons le plus grand entier a contenu dans œ. Nous poserons donc, d'après la méthode connue (loi),

Le quotient complet .rj sera donné par la relation

Nous rendrons rationnel le dénominateur de l'expression en multipliant ses deux termes par (Da — E) + \/F. Elle deviendra évidemment

- dO)^-e + v/f)

^■'- F(i)a-E)-^ ' et, en posant

V r» i- r. F— (Da — E)-

E,=: Da— E, Di= - ^

l48 ALGÈBRE SUPÉraEtaE.

nous la ramènerons à la forme

toute pareille à celle de x.

El est un nombre entier, positif ou négatif; Dj est un nombre rationnel, positif ou négatif.

On voit, par ce qui précède, qu'on peut opérer sur .r, pour trouver le quotient complet suivant œ^, comme on a opéré sur X pour trouver x^; et ainsi de suite, indéfiniment.

On écrira donc

Di

Nous obtiendrons ainsi les quotients incomplets a, a^, «,, •••, a„, ... de la fraction continue illimitée que nous cherchons, et nous pourrons calculer les réduites correspondantes.

Nous remarquerons que la quantité radicale y/F reste la même dans x et dans tous les quotients complets ^1, a?,.

3" Loi de formation des quotients complets. — Le nombre rationnel D„ est toujours entier.

On a (a»)

E„-. + vF^ I

Un—\ "^ Il

On en déduit, comme précédemment (2°),

ALGÈBRE SUPÉKIEURE. l ^Q

mais, d'après nos noUUions, on a d'autre part (2»)

En comparant les deux expressions de ^„, on a donc nécessairement

et

(4) Vn=

On en déduit, comme cela doit être (1° et 2°),

Si l'on admet que Eo et Do représentent EetD, la formule (5) subsiste, quelque soit n, puiscjue l'on retrouve alors la formule (2) [i«]

Eliminons donc F entre les formules (4) et (5), en remplaçant, dans la formule (5), n par « — i. Nous aurons ainsi

et, en transportant cette valeur dans l'équation (4), en sim- [)lifiant et en divisant par D„,, il viendra

f)„ = I)„2— l)n-lal^ -+- 2E„,a„,.

En remplaçant dans cette é(|uation D„i par sa valeur déduite de l'équation (3) et en simplifiant, nous aurons enfin

Les formules (3) et (6), qui font connaître E„ et D„ en fonction des quantités précédemment calculées, contiennent la loi de formation des quotients complets.

Nous avons trouvé (2'') poiu- E, un nombre entier, positif ou négatif, et pour D, un nombre rationnel, positif ou négatif. Nous trouverons donc pour E2, E3, . . ., E„, . . . des nombres entiers, positifs ou négatifs, tandis que D2, D3, . . ., D„, ... se présenteront sous la forme de nombres rationnels, positifs ou

I OO ALGEBKE SU PEJ\ IF.U RE.

négatifs. Il reste à démontrer que ce? nombres rationnels sotil entiers.

Or la formule (6) ou celle qui la précède prouve immédiatement f|iie D„ sera entier si D„2 et I)„i le sont eux-mêmes. Il siiflit donc, en supposant n^i, que D i et JJq ou D soient entiers, pour pouvoir affirmer qu'il en sera de même successivement de Di, D2, D3, . . ., D„, .... Nos conventions préliminaires (1") admettant expressément que D i et D sont des nombres entiers, positifs ou négatifs, nous pouvons dire, d'une manière générale, que D„ est un nombre entier, positif ou négatif, comme E„.

4° A partir d'une certaine valeur limite donnée à n, les nombres entiers E„ et D„ deviennent et restent constamment positifs.

Pour établir ce fait, nous considérerons les réduites successives de X en les représentant, pour plus d'homogénéité dans les notations, par

Po Pi £2 P^^ P^

Qo' Qi' Q.' ■■■' Q.-,' Q„'

Si l'on suppose Po^^i et Qo^o, la première réduite est la

véûnna fictive - (158); ^p est la (n -h i)'«'"M"éduile, et l'oi»

" Il -^ Il ~^ * re — 1

OU bien (a»)

Chassons les dénominateurs de cette expression et égalons respectivement les parties rationnelles et les parties irrationnelles des deux membres {^Alg. élém., 2(]'i ). Nous aurons

E(Q„E„4-Q„-,I)J-+-Q„F = D(P„E„+P„.D„), EQ„-hQ„E«-+-0„iD„ = P„D.

En ordonnant par rapport à E„ et à D„, on obtient les deux

ALr.EURE SUPÉRIEURE. lOI

équations du premier degré

(7) (DP„-EQ„)E,, 4-(DP„,-EQ„,)D„ = Q,F,

(8) Q„E,+ Q„,D„ = T)P„-EQ„.

Si Ton élimine D„ entre ces deux équations, le cocflicient de E„ se réduit à

c'est-à-dire à ± I), suivani que n est pair ou impair (IGO). On peut donc mettre ce coefiicient sous la forme D( — i)" ou

— • On trouve amsi

(9) E„==^y'--[0„,Q„F-(nP„^,-EQ„,)(T)P„-EQ.)].

En éliminant E„ entre les mêmes éf|uations (7) et (8), et en faisant usage de la même relalion

P«0.v-,-QJ*«-i==ti.

on trouve également

[(l)P„-EO„)^-Q^,F

Considérons d'abord la valeur de D„.

On peut la mettre sous la forme

I>n=^f^(l)P„-EQ„-Q,v/F)(DP„-EQ„+Q„v/F).

En ajoutant et en retranchant alors '^Q„v/''" dans le dernier facteur du second membre; en mettant ensuite Q,^ en facteur commun, ce qui conduit à diviser respeclivemcnl par Q„ les deux fadeurs entre parenthèses; en divisant enfin le premier de ces facteuis par D, on a évidemment

•"^'^[^.--V^lh" (fe-^-^)

La formule (11) va nous permettre de montrer que i)„ devient et reste positif à partir d'une certaine valeur de n.

En effet, — représente ^^(1"). Le premier facteur

entre crochets a donc le signe de ( — i)" : il est positif si /?.

102 ALGtBRE SL PEIllEL UT.

est pair, négatif si n est impair, puisque j'- est la réduile

correspondante (loi). Son produit par ( — i)" 0« est donc

toujours positif. D'ailleurs la difTérence entre —^ et x peut

devenir aussi petite qu'on veut pour n assez grand (IGG). 11 en résulte que, quel que soit le signe de 1), la valeur du second facteur entre crochets tend autant qu'on veut vers 2 \/F, c'est-à-dire qu'elle devient positive pour toutes les valeurs de n supérieures à une cci'laine limite. Il en est donc de même de D„, à partir de cette limite.

Considérons à son tour la valeur' de E„.

Prenons l'équation (8), qu'on peut écrire

ou

On a d'ailleurs (2")

ou V,iX,^ = \'\!

En divisant membre à membre les deux dernières équations, on trouve

La formule (12) va nous permettre de montrer que E,j devient et reste positif, à partir d'une certaine valeur de n. En effet, on a