X:= r^ — > d OU \}x—t.^=\V
Par conséquent, puisque -~ tend vers x autant qu'on veut
pour n assez grand, le second membre de l'équation (12) devient, à partir d'une certaine valeur de n, aussi près qu'on veut de
vF + E,/
ALGEBRE SUPERIEURE.
Il est donc impossible que E„, à partir de cette même limite, soit négatif; car le second membre de l'équation (12) serait alors plus grand que i, tandis que son premier membre est manifestement inférieur à i. (On a Q«i < Q« d'après la
loi de formation des réduites, et j7„=: a„H est supérieur
à l'iinilé.) Ainsi, pour toutes les valeurs de n supérieures à une certaine limite, E„ est et demeure positif.
5» Toute racine irrationnelle d'une équation du second degré à coefficients rationnels se dé\-eloppe suivant une fraction continue périodique.
Nous avons établi (2», 3", 4°) que E„ et D„ sont entiers et que, pour les valeurs de n supérieures à une certaine limite, ils sont positifs.
Si nous considérons le développement de la fraction continue illimitée à partir de cette limite, la formule (5)
prouve qu'on a alors constamment
La formule (3)
écrite en remplaçant n par n -f- i, donne alors évidemment
B^a^ — En+i-hE,, ou D„a„<2\/F; et il en résulte constamment
D„<2v'F et a,,<2\/r.
Les nombres entiers E„, D„, a,^ sont donc limités; et les quotients complets cc,i, comme les quotients incomplets a^, ii(^ peuvent avoir qu'un nombrey?/if de valeurs différentes.
On a
On peut faire varier !)„, entier, depuis i jusqu'au plus grand entier contenu dans 2\jF, en l'associant avec une valeur de E/,, entier, variant depuis i jusqu'au plus grand en-
l54 ALGEBRK SUPÉRIEURE.
lier contenu dans v'^- ï-e nombre des valeurs de x^ esl donc au maximum 2 y/F. y/F ou 2F.
Il est finalement démontré qu'en poursuivant la conversion de
en fraction continue illimitée, on retrouvera nécessairement, après un nombre d'opérations plus ou moins grand, mais qui ne peut excéder 2F, un quotient complet déjà obtenu. A partir de là, il est clair que la suite des quotients complets ou incomplets redeviendra identique à celle qu'on avait trouvée après la première apparition de ce quotient, et qu'elle se reproduira indéfiniment. La fraction continue illimitée égale à X sera donc périodique simple ou périodique mixte, suivant qu'on retrouvera ou non le premier quotient (173).
6° Lorsque l'équation du second degré considérée a ses racines de signes contraires, la fraction continue correspondante est périodique simple ou périodique mixte avec un seul quotient avant la période. Lorsque cette équation a ses racines de même signe, la fraction continue correspondante est pér io diq u e mixte.
Ce corollaire est la conséquence nécessaire du théorème I (174-, 1°, 2» et Remarque).
Applications.
176. 1° On donne l'équation du second degré 'iZx^ — ^<^x -i- 23 = o, et l'on demande de convertir ses racines en fractions continues.
L'équation donnée a évidemment ses racines réelles et de même signe. Nous devons donc obtenir comme développements des fractions continues périodiques mixtes (175).
Nous appliquerons d'abord les formules générales trouvées (17o). Préparons donc l'équation en la multipliant para (173, 1°). Elle devient
d'où
49d=v/285 jr 49 + \/285 ^~ 46 " ±46
La racine carrée du plus grand carré entier contenu dans 285 est 16.
ALGÈDRE SUPÉRIEURE. l55
Les deux racines x' et x" ont pour produit l'unité. L'une est plus grande quu i, l'aiilre est plus petite. Calculons la plus grande.
Puisque x' x' = i, nous aurons ensuite x"= — , •
Les formules générales à employer sont (ITo, 3°)
On a d'ailleurs (173, i")
AC -=-D iD,
D n'étant autre chose qie A pris avec le signe adopté, et il en résulte
«0 n'est autre chose que a. partie entière de x .
Cela posé, cherchons d'abord cette partie entière en remplaçant, dans la valeur de x\ /aSS par 16. Nous obtiendrons a = \.
Nous aurons ensuite, en faisant // = 1 dans les formules (3) et (6), et d'après (175, 2°),
Li = — i. Di = 6, d ou xi = = •
La partie entière de xi est, par conséquent, «i = '2. De même, pour 11 = 1,
£2=15, D2 = 10, Xî
Par suite, la partie entière de.r.. est a2 = 3. Pour n = 3, on a
Ils — I D, U3 — 0, X^— ~ — —
et la partie entière de x^ est «3=5.
Enfin, pour n = 4,
Ei=i5 = E2, D4=io=D2.
Il en résulte
Ei-4- v/F
Xit = j- — X2.
La fraction continue cherchée est donc une fraction périodique mixte ayant poM/- quotients non répètes i et 2 cl, pour quotients re'pétés, 3 et 5.
Nous écrirons donc
et, par suite,
En opérant directement, comme nous allons le montrer, on aurait eu des calculs plus longs et plus compliqués, mais très réguliers. En parlant de
on en déduit a = \, comme précédemment. On pose ensuite, comme à l'ordinaire (ISl),
La partie entière de xx est donc celle de — on ai — 1.
xy = 1 -\ — - donne x^
Xi — 'J.
c'est-à-dire
